6 kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Trong khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em thường gặp những vướng mắc, lỗi nhỏ hoặc lớn. Vì vậy phải có biện pháp khắc phục.

Những gì mà Gia sư Hà Nội đưa ra dưới đây sẽ giúp các em có thêm kỹ năng để giải bài tập một cách chính xác và nhanh hơn.

1. Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót nhỏ

Để học sinh không mắc sai lầm này người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, kỹ năng tính. Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không?

Ví dụ: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng . Tìm phân số ban đầu. (Đại số 8)

Giải

Gọi tử số của phân số ban đầu là x (điều kiện: x ∈ Z; x ≠ -3).

Thì mẫu số của phân số ban đầu là x + 3.

Theo đề bài ra ta có phương trình: \(\displaystyle \frac{x+2}{x+5}=\frac{1}{2}\)  (*)  ĐKXĐ: x + 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ -5 .

(*) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{2(x+2)}{2(x+5)}=\frac{1(x+5)}{2(x+5)}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 2x+4=x+5\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow 2x-x=5-4\)

⇔ x = 1 (nhận).

Suy ra: tử số của phân số ban đầu là 1, mẫu số phân số ban đầu là 1 + 3 = 4.

Vậy phân số ban đầu là \(\displaystyle \frac{1}{4}\) .

2. Lời giải toán phải có căn cứ chính xác

Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập phương trình – hệ phương trình, từ đó tìm được giá trị của ẩn số. Muốn vậy, người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng được cách giải.

Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật với hai kích thước hơn kém nhau 4m, biết diện tích của khu đất đó bằng 1200 (m2). Hãy tính chu vi của khu đất đó? (Đại số 9).

Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật. Học sinh thường có ý nghĩ, bài toán hỏi gì thì gọi đó là ẩn. Nếu ở bài toán này gọi chu vi hình chữ nhật là ẩn thì bài toán khó có lời giải. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn. Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

GIẢI

Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m), (điều kiện: x > 0).

Thì chiều dài khu đất hình chữ nhật là x + 4 (m).

Vì diện tích hình chữ nhật là 1200m2. Ta có phương trình sau:

x(x + 4) = 1200

⇔ x2 + 4x – 1200 = 0

⇔ x1 = 30  (nhận). x2 = – 34 (loại).

Chiều rộng hình chữ nhật là 30 (m).

Chiều dài hình chữ nhật là 30 + 4 = 34 (m).

Vậy chu vi của khu đất hình chữ nhật là: (34 + 30)2 = 128 (m).

3. Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện

Giáo viên phải hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa.

Ví dụ: Một tam giác có chiều cao bằng \(\displaystyle \frac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy? (Đại số 8).

GIẢI

Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao: \(\displaystyle S=\frac{1}{2}\) cạnh đáy x chiều cao.

Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm), (điều kiện: x > 0).

Thì chiều cao là \(\displaystyle \frac{3}{4}x\) (dm).

Diện tích lúc đầu là : \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{3}{4}x\) (dm2).

Diện tích lúc sau là: \(\displaystyle \frac{1}{2}\left( x-2 \right)\left( \frac{3}{4}x+3 \right)\) (dm2).

Theo đề bài ta có phương trình sau: \(\displaystyle \frac{1}{2}\left( x-2 \right)\left( \frac{3}{4}x+3 \right)-\frac{1}{2}x\cdot \frac{3}{4}x=12\)

⇔ \(\displaystyle \frac{3}{4}x=15\)

⇔ 3x = 60

⇔ x = 20 (TMĐK)

Vậy cạnh đáy có độ dài là 20 (dm).

Chiều cao có độ dài là \(\displaystyle \frac{3}{4}\cdot 20=15\) (dm).

4. Lời giải bài toán phải đơn giản

Ví dụ: (Bài toán cổ Việt Nam).

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có mấy gà, mấy chó? (Đại số 8)

GIẢI

Gọi số gà là x (con), (điều kiện: x nguyên dương).

Số chó là 36 – x  (con).

Số chân gà là 2x (chân).

Số chân chó là 4(36 – x) (chân).

Theo đề bài ta có phương trình: 2x + 4(36 – x) = 100 x = 22 (TMĐK).

Vậy số gà là 22 (con), số chó là 36 – 22 = 14 (con).

Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ của học sinh.

5. Lời giải phải trình bày khoa học

Ví dụ: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. (Đại số 9)

Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức. Cho ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC (H ∈ BC), ta có: AH2 = BH.CH.

GIẢI

Gọi độ dài cạnh BH là:  x (m) (điều kiện: x > 0).

Độ dài cạnh CH là:  x + 5,6 (m).

Theo đề bài ta có phương trình:  x(x + 5,6) = 9,62 ⇔ x = 7,2 (TMĐK).

Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).

f/ Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.

Giáo viên cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hiểu hết các nghiệm của bài toán, nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình.

Ví dụ: Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80km, thời gian đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng. Biết vận tốc dòng nước là 4km/h.

GIẢI

Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x (km/h), (điều kiện: x > 0).

Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là x + 4 (km/h).

Vận tốc của tàu thuỷ khi ngược dòng là x – 4 (km/h).

Theo bài ra ta có phương trình sau:

\(\displaystyle \frac{80}{x+4}+\frac{80}{x-4}=\frac{25}{3}\) (*)  (vì \(\displaystyle {{8}^{h}}{{20}^{‘}}=\frac{25}{3}h\))

ĐKXĐ: x ≠ ± 4

(*)  ⇔ \(\displaystyle \frac{80.3(x-4)}{3(x+4)(x-4)}+\frac{80.3(x+4)}{3(x+4)(x-4)}=\frac{25(x+4)(x-4)}{3(x+4)(x-4)}\)

⇒ \(\displaystyle 240x-960+240x+960=25{{x}^{2}}-400\)

⇔ 5x2 – 96x – 80 = 0

x1= \(\displaystyle -\frac{8}{10}\) (không thoả mãn)

x2 = 20 (nhận)

Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/h.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội