Bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án – Toán lớp 9

Toán cấp 2 chia sẻ một số bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án thuộc chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập cũng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng.

*Chú ý: Các em có thể hỏi nhau những bài nào chưa hiểu ở phần comment bài viết.

Bài 1 (2016)

Cho $ A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}$ và $ B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ với $ x\ge 0;\,\,\,x\ne 9$

1) Tính giá trị của A khi $ \displaystyle x=25$

2) CMR: $ B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$

3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên.

Giải:

1)

  • Ta thấy $ \displaystyle x=25$ thoả mãn điều kiện $ x\ge 0;\,\,\,x\ne 9$.
  • Thay $ \displaystyle x=25$ vào A ta được: $ A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$.
  • Vậy khi $ \displaystyle x=25$ thì $ A=\frac{7}{13}$

2) $ \begin{array}{l}2)\,\,\,B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)+2\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}\,\,=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( \sqrt{x}+8 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\end{array}$

Vậy $ B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\,\, & \,\,;\,\,\,\,x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 9$

$ \Rightarrow $ ĐPCM

3) ĐK: $ x\ge 0;\,\,\,x\ne 9$    (*), ta có: $ P=A.B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}>0\,\,,\,\,\,\forall x\ge 0,\,\,x\ne 9$

+) Vì $ x\ge 0$ nên $ \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+3\ge 3\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}$

+) Do đó: $ 0<P\le \frac{7}{3},\,\,\forall x\ge 0,\,\,\,x\ne 9$.

+) Vậy $ P\notin \mathbb{Z}\Leftrightarrow P\in \left\{ 1\,;\,\,\,2 \right\}$

  • TH1: $ P=1\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\Leftrightarrow 7=\sqrt{x}+3\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16$ (thoả mãn ĐK *)
  • TH2: $ P=2\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\Leftrightarrow 7=2\sqrt{x}+6\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên $ \displaystyle \Leftrightarrow x\in \left\{ 16;\,\,\frac{1}{4} \right\}$

Bài 2 (2015)

Cho $ P=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}$ và $ Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}$ với $ x>0,\,\,\,x\ne 4$.

1) Tính giá trị của P khi $ x=9$

2) Rút gọn Q

3) Tìm x để $ \displaystyle \frac{P}{Q}$ đạt GTNN

Giải:

1)

  • Ta thấy $ \displaystyle x=9$ thoả mãn điều kiện $ x>0,\,\,\,x\ne 4$.
  • Thay $ \displaystyle x=9$ vào P ta được: $ P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=12$.
  • Vậy khi $ \displaystyle x=9$ thì $ P=12$

2) $ \begin{array}{l}\,Q=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)+5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\,\,=\frac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\end{array}$

Vậy $ Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} & \,\,;\,\,\,\,x>0\,\,;\,\,x\ne 4$

$ \Rightarrow $ ĐPCM

3) ĐK: $ x>0,\,\,\,x\ne 4$ (*)

$ \frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: $ \sqrt{x}\,\,v\grave{a}\,\,\frac{3}{\sqrt{x}}$, ta có:

$ \displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\\\Rightarrow \frac{P}{Q}\ge 2\sqrt{3}\,\,;\,\,\,\forall x>0,\,\,\,x\ne 4\end{array}$

+) $ \frac{P}{Q}=2\sqrt{3}\Leftrightarrow $dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra $ \Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow x=3$(tmđk*)

Vậy $ x=3$ thì $ \displaystyle \frac{P}{Q}$ đạt GTNN

Bài 3 (2015)

1) Tính giá trị của $ A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ khi $ \displaystyle x=9$.

2) Cho $ P=\left( \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ với $ x>0,\,\,\,x\ne 1$

a) CMR: $ P-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

b) Tìm x sao cho: $ 2P=2\sqrt{x}+5$

Giải:

1) +) A xđ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\sqrt{x}-1\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$

+) Ta thấy khi $ \displaystyle x=9$ thoả mãn điều kiện: $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$

+) Thay $ \displaystyle x=9$vào A, ta được:

$ A=\frac{\sqrt{9}+1}{\sqrt{9}-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2$

+) Vậy khi $ \displaystyle x=9$ thì $ A=2$

2) $ \begin{array}{l}P=\frac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\,\,=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\end{array}$

Vậy $ P==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\,\,;\,\,\,\,x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$    $ \Rightarrow $ ĐPCM

3) ĐK: $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$                (*)

$ \displaystyle \begin{array}{l}2P=2\sqrt{x}+5\Leftrightarrow 2.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x}+2=2{{\sqrt{x}}^{2}}+5\sqrt{x}\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}+3\sqrt{x}-2=0\\\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\\\sqrt{x}+2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=\frac{1}{2}\\\sqrt{x}=-2\,\,\,\left( VN \right)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( tmk* \right)\end{array}$

Vậy $ \displaystyle x=\frac{1}{4}\,$ thì $ 2P=2\sqrt{x}+5$

Bài 4 (2013)

Với $ x>0$ , cho $ A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,\,;\,\,\,B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

1) Tính giá trị của A khi $ x=64$ .

2) Rút gọn B

3) Tìm x, để $ \frac{A}{B}>\frac{3}{2}$

Giải:

1) +) $ x=64$ thoả mãn điều kiện: $ x>0$

+)  Thay $ x=64$vào A, ta được:

$ A=\frac{2+\sqrt{64}}{\sqrt{64}}=\frac{2+8}{8}=\frac{5}{4}$

+)  Vậy khi $ x=64$ thì $ A=\frac{5}{4}$

2) $ \displaystyle \begin{array}{l}B=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x+1} \right)+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

Vậy: $ \displaystyle B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1};\,\,\,x>0$

3) ĐK: $ x>0$                                (*)

$ \displaystyle \begin{array}{l}\frac{A}{B}>\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}>\frac{3}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\end{array}$

(Nhân cả hai vế với $ 2\sqrt{x}>0$)

$ \begin{array}{l}\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x}+1 \right)>3\sqrt{x}\\\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\\\Leftrightarrow x<4\end{array}$

Kết hợp với (*) ta được: $ 0<x<4$  thì $ \frac{A}{B}>\frac{3}{2}$

Bài 5 (2012)

1) Cho $ A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$ . Tính giá trị của A khi $ x=36$ .

2) Rút gọn $ B=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4} \right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}$ với $ x>0,\,\,\,\,x\ne 16$.

3) Tìm x nguyên để $ B.\left( A-1 \right)$ là số nguyên.

Giải:

1) +) A xđ $ \Leftrightarrow x\ge 0$ .

+) Ta thấy $ x=36$ thoả mãn điều kiện $ x\ge 0$

+) Thay $ x=36$ vào A ta được:

$ A=\frac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\frac{6+4}{6+2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

+) Vậy khi $ x=36$ thì $ A=\frac{5}{4}$

2) $ \displaystyle B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-4 \right)+4\left( \sqrt{x}+4 \right)}{\left( \sqrt{x}+4 \right)\left( \sqrt{x}-4 \right)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}$

$ \begin{array}{l}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\\=\frac{\left( x+16 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( x-16 \right)\left( x+16 \right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\end{array}$

Vậy: $ B=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16};\,\,x>0,\,\,x\ne 16$

3) +) ĐK: $ x>0,\,\,\,x\ne 16$

+) $ B.\left( A-1 \right)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\left( \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1 \right)$

$ =\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{x-16}$

$ B.\left( A-1 \right)\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{2}{x-16}\in \mathbb{Z}$ ⇔ $ x-16\in $ $ \left\{ \pm 1\,\,;\,\,\pm 2 \right\}$ (Vì khi $ x\in \mathbb{Z}$ thì $ x-16\in \mathbb{Z}$)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-16=-1\\x-16=1\\x-16=-2\\x-16=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=15\\x=17\\x=14\\x=18\end{array} \right.$  tất cả đều thoả mãn điều kiện: $ x>0,\,\,\,\,x\ne 16$

Vậy $ x\in \left\{ 14\,;\,\,15\,;\,\,17\,;\,\,18 \right\}$ là các giá trị nguyên của x để $ B.\left( A-1 \right)$ nhận giá trị nguyên.

Bài 6 (2011)

Cho $ A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{10\sqrt{x}}{x-25}-\frac{5}{\sqrt{x}+5}$ với $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 25$

1) Rút gọn A.

2) Tính giá trị của A khi $ x=9$

3) Tìm x để $ A<\frac{1}{3}$

Giải:

1) +) $ A=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x+5} \right)-10\sqrt{x}-5\left( \sqrt{x}-5 \right)}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-10\sqrt{x}+25}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}\\=\frac{{{\left( \sqrt{x}-5 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}\\=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\end{array}$

Vậy: $ A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5};\,\,x\ge 0\,;\,\,x\ne 25$

2) +) Ta thấy $ x=9$ thoả mãn điều kiện: $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 25$

+) Thay $ x=9$ vào A, ta được:

$ A=\frac{\sqrt{9}-5}{\sqrt{9}+5}=\frac{3-5}{3+5}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}$

Vậy khi $ x=9$ thì $ A=\frac{-1}{4}$

3) +) ĐK: $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 25$                     (*)

+) $ A<\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}<\frac{1}{3}$

(Nhân cả 2 vế với $ 3\left( \sqrt{x}+5 \right)>0$)

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow 3\left( \sqrt{x}-5 \right)<\sqrt{x}+5\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<\,\,20\\\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,<10\\\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<100\end{array}$

Kết hợp điều kiện (*), ta có: $ \left\{ \begin{array}{l}0\le x<100\\x\ne 25\end{array} \right.$   thì $ A<\frac{1}{3}$

Bài 7:

Cho $ M=\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}$  và $ N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với $ x>0,\,\,\,x\ne 1$

1) Tính giá trị của N khi x = 25

2) Rút gọn S = M.N

3) Tìm x để $ S<-1$

Giải:

1) +) Ta thấy $ x=25$ thoả mãn đk: $ x>0,\,\,\,x\ne 1$

2) +) $ M=\frac{\sqrt{2}+2}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}=\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)-\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\\=\frac{\left( x+\sqrt{x}-2 \right)-\left( x-\sqrt{x}-2 \right)}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\\=\frac{2\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\end{array}$

+) $ S=M.N=\frac{2\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$ =\frac{2}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{2}{x-1}$

Vậy: $ S=\frac{2}{x-1};\,\,x>0,\,\,x\ne 1$.

3) +) ĐK: $ x>0,\,\,\,x\ne 1$                 (*)

+) $ S<-1\Leftrightarrow \frac{2}{x-1}<-1$

$ \begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{2}{x-1}+1<0\\\Leftrightarrow \frac{2+x-1}{x-1}<0\\\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}<0\end{array}$

Vì: $ x+1>1>0,\,\,\forall x>0$ nên: $ \frac{x+1}{x-1}<0\Leftrightarrow x-1<0\Leftrightarrow x<1$

+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: $ 0<x<1$  thì $ S<-1$

Bài 8:

Cho $ A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}$  và  $ B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$  với $ x\ge 0,\,\,x\ne 1$.

1) Tính giá trị của B khi $ x=36$

2) Rút gọn A.

3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất

Giải:

1) +) Ta thấy $ x=36$ thoả mãn ĐK: $ x\ge 0,\,\,x\ne 1$

+) Thay $ x=36$ vào B ta được: $ B=\frac{\sqrt{36}+3}{\sqrt{36}+1}=\frac{6+3}{6+1}=\frac{9}{7}$

+) Vậy khi $ x=36$thì $ B=\frac{9}{7}$

2) +) $ A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$ \begin{array}{l}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)+\left( \sqrt{x}-1 \right)-3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}\\=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}\\=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\end{array}$

Vậy $ A==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2};\,\,x\ge 0,\,\,x\ne 1$

3) +) ĐK: $ x\ge 0,\,\,x\ne 1$

$ +)\,\,S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\,=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$

$ \begin{array}{l}\bullet )\,\,\forall x\ge 0,\,\,x\ne 1:\\\,\,\,\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 0\,\,\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}\le \frac{1}{2}\,\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\end{array}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\bullet )\,\,S=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=2\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\end{array}$

$ \bullet )\,\,\,x=0$ thoả mãn đk: $ x\ge 0,\,\,x\ne 1$

Vậy $ x=0$ thì S = A.B đạt GTLN

$ \Leftrightarrow 6>\sqrt{a}+2\Leftrightarrow \sqrt{a}<4\Leftrightarrow a<16$

Bài 9:  Cho $ A=\left( \frac{1}{\sqrt{a}+2}+\frac{1}{\sqrt{a}-2} \right).\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}$

1) Rút gọn A

2) Tìm a để $ \displaystyle A>\frac{1}{3}$

3) Tìm a để $ B=\frac{9}{4}A$ nhận giá trị nguyên.

Giải:

1) +) A xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\sqrt{a}\ne 0\\\sqrt{a}\ne 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\a\ne 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$

+) $ A=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)+\left( \sqrt{a}+2 \right)}{\left( \sqrt{a}+2 \right)\left( \sqrt{a}-2 \right)}.\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}$ = $ \frac{2\sqrt{a}.\left( \sqrt{a}-2 \right)}{\left( \sqrt{a}+2 \right)\left( \sqrt{a}-2 \right).\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{a}+2}$

Vậy với $ A=\frac{2}{\sqrt{a}+2}$ với $ a>0,\,\,\,a\ne 4$

2) +) ĐK: $ a>0,\,\,\,a\ne 4$

+) $ A>\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{a}+2}>\frac{1}{3}$ (nhân cả hai vế với $ 3\left( \sqrt{a}+2 \right)>0$)

$ \Leftrightarrow 6>\sqrt{a}+2\Leftrightarrow \sqrt{a}<4\Leftrightarrow a<16$

+) Kết hợp đk $ a>0,\,\,\,a\ne 4$ ta được: $ 0<a<16,\,\,\,a\ne 4$

3) +) ĐK: $ a>0,\,\,\,a\ne 4$

+) $ B=\frac{9}{4}A=\frac{9}{4}.\frac{2}{\sqrt{a}+2}=\frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}$

  • Dễ thấy: $ B>0;\,\,\forall a>0,\,\,a\ne 4$
  • $ \forall a>0,\,\,\,a\ne 4$

$ \sqrt{a}>0\Rightarrow \sqrt{a}+2>2\,\Rightarrow 2\left( \sqrt{a}+2 \right)>4\,\Rightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}<\frac{9}{4}=2,25$

  • Vậy: $ 0<B<2,25;\,\,\forall a>0,\,\,\,a\ne 4$

Do đó: $ B\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow B\in \left\{ 1\,\,;\,\,2 \right\}$

-) TH1: $ \displaystyle B=1\Leftrightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}=1\Leftrightarrow 9=2\sqrt{a}+4\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=\frac{25}{4}$ (thoả mãn đk *)

-) TH2: $ B=2\Leftrightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}=2\Leftrightarrow 9=4\sqrt{a}+8\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{16}$ (thoả mãn đk *)

Vây: $ a\in \left\{ \frac{1}{16};\,\,\frac{25}{4} \right\}$ thì $ B\in \mathbb{Z}$

Bài 10: Cho $ A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5}$ và $ B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{4-6\sqrt{x}}{x-1}$ với $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$

1) Tính giá trị của A khi $ \displaystyle x=9-4\sqrt{5}$

2) Rút gọn B

3) Tìm GTNN của S = A.B

Giải:

1) +) Ta thấy $ x=9-4\sqrt{5}={{\sqrt{5}}^{2}}-2.2.\sqrt{5}+{{2}^{2}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{2}}$ (thoả mãn Đk: $ x\ge 0,\,\,\,x\ne 1$)

+) Thay $ \displaystyle x={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{2}}$ hay $ \sqrt{x}=\left| \sqrt{5}-2 \right|=\sqrt{5}-2$ vào A, ta được:

$ \displaystyle A=\frac{\left( \sqrt{5}-2 \right)+1}{\left( \sqrt{5}-2 \right)+5}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}=\frac{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}-3 \right)}{{{\sqrt{5}}^{2}}-{{3}^{2}}}=\frac{8-4\sqrt{5}}{-4}=\sqrt{5}-2$

Vậy: $ A=\sqrt{5}-2$ khi $ \displaystyle x=9-4\sqrt{5}$

2) +) $ B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)+3\left( \sqrt{x}-1 \right)+4-6\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}$

$ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-2\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

Vậy: $ B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1};\,\,\,x\ge 0,\,\,x\ne 1$

3) +) ĐK: $ x\ge 0,\,\,x\ne 1$

+) $ S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}+5-6}{\sqrt{x}+5}=1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\bullet )\,\,\forall x\ge 0,\,\,\,x\ne 1:\\\,\,\,\,\,\,\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+5\ge 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \frac{6}{\sqrt{x}+5}\le \frac{6}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \frac{-6}{\sqrt{x}+5}\ge \frac{-6}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow 1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}\ge 1-\frac{6}{5}=\frac{-1}{5}\end{array}$

$ \bullet )$ Ta thấy $ \sqrt{x}=0$ hay $ x=0$ thì $ S=\frac{-1}{5}$

Vậy GTNN của S là $ \frac{-1}{5}$

Bài 11: Tìm $ x\in \mathbb{Z}$ để $ P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\in \mathbb{Z}$

Giải:

* Cách 1:

  • Đk: $ x\ge 0$
  • TH1: $ x=0\Rightarrow P=0\in \mathbb{Z}$$ \Rightarrow $ nhận $ x=0$
  • TH2: $ x>0$

+) Dễ thấy: $ P>0,\,\,\,\forall x>0$

+) $ P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}<\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=3$

+) Vậy: $ 0<P<3$

Do đó: $ P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow P\in \left\{ 1;\,\,2 \right\}$

-) $ P=1\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=1\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=\sqrt{x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ (loại vì $ \frac{1}{4}\notin \mathbb{Z}$ )

-) $ \displaystyle P=2\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=2\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+2\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4$ (nhận)

  • KL: $ x\in \left\{ 0;\,\,4 \right\}$ thì $ P\in \mathbb{Z}$

*) Cách 2: Với $ x\in \mathbb{Z}$ ta chia 2 trường hợp sau:

  • TH1: x là số chính phương $ \Rightarrow \sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ : $ \displaystyle P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$

Vì $ \sqrt{x}+1\in \mathbb{Z}$  nên: $ P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \sqrt{x}+1\in $ Ư(3)

$ \begin{array}{l}\Leftrightarrow \sqrt{x}+1\in \left\{ \pm 1\,;\,\,\pm 3 \right\}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}+1=-1\\\sqrt{x}+1=1\\\sqrt{x}+1=3\\\sqrt{x}+1=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=-2\\\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=-4\end{array} \right.\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=4\end{array} \right.$           (đều là các số chính phương)

  • TH2: x không là số chính phương

$ \Rightarrow \sqrt{x}$ là số vô tỉ    $ \Rightarrow \sqrt{x}+1$ là số vô tỉ

$ \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{x}+1}$ là số vô tỉ

$ \Rightarrow 3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$là số vô tỉ

$ \Rightarrow P\notin \mathbb{Z}$

Vậy: $ x\in \mathbb{Z}$ để $ P\in \mathbb{Z}$ là $ x\in \left\{ 0\,;\,\,4 \right\}$

Bài 12: Tìm $ x\ge 0,\,\,x\ne 4$ sao cho: $ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}$

Giải:

  • ĐK: $ x\ge 0,\,\,x\ne 4$ (*)
  • $ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}$

$ \displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 2\sqrt{x}-\frac{8}{3} \right)\\\Leftrightarrow 3\left( \sqrt{x}+2 \right)=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 6\sqrt{x}-8 \right)\\\Leftrightarrow 3\sqrt{x}+6=6x-2\sqrt{x}-8\\\Leftrightarrow 6{{\sqrt{x}}^{2}}-5\sqrt{x}-14=0\\\Leftrightarrow 6\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+\frac{7}{6} \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}-2=0\\\sqrt{x}+\frac{7}{6}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=\frac{-7}{6}<0\end{array} \right.\end{array}$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4$   (không thoả mãn đk (*))

  • Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 13: Tìm GTNN của $ P=\frac{x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$

Giải:

  • ĐK: $ x\ge 0$
  • Đặt $ a=\sqrt{x}+1\ge 1$

+) $ \sqrt{x}=a-1$

+) $ P=\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}-3\left( a-1 \right)-2}{a}$

$ \begin{array}{l}=\frac{{{a}^{2}}-2a+1-3a+3-2}{a}\\=\frac{{{a}^{2}}-5a+2}{a}=\left( a+\frac{2}{a} \right)-5\end{array}$

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và $ \frac{2}{a}$, ta có:

$ \displaystyle a+\frac{2}{a}\ge 2\sqrt{a.\frac{2}{a}}=2\sqrt{2}\Rightarrow P\ge 2\sqrt{2}-5$

+) Ta thấy khi $ a=\frac{2}{a}$ tức là $ a=\sqrt{2}$ thì $ P=2\sqrt{2}-5$

  • Vậy GTNN của $ P=2\sqrt{2}-5$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *