Bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án – Toán lớp 9

Toán cấp 2 chia sẻ một số bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án thuộc chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập cũng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng.

*Chú ý: Các em có thể hỏi nhau những bài nào chưa hiểu ở phần comment bài viết.

Bài 1 (2016)

Cho A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9} với x\ge 0;\,\,\,x\ne 9

1) Tính giá trị của A khi \displaystyle x=25

2) CMR: B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}

3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên.

Giải:

1)

  • Ta thấy \displaystyle x=25 thoả mãn điều kiện x\ge 0;\,\,\,x\ne 9.
  • Thay \displaystyle x=25 vào A ta được: A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}.
  • Vậy khi \displaystyle x=25 thì A=\frac{7}{13}

2) \begin{array}{l}2)\,\,\,B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)+2\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}\,\,=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( \sqrt{x}+8 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\end{array}

Vậy B=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\,\, & \,\,;\,\,\,\,x\ge 0\,\,;\,\,x\ne 9

\Rightarrow ĐPCM

3) ĐK: x\ge 0;\,\,\,x\ne 9    (*), ta có: P=A.B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}>0\,\,,\,\,\,\forall x\ge 0,\,\,x\ne 9

+) Vì x\ge 0 nên \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+3\ge 3\Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}

+) Do đó: 0<P\le \frac{7}{3},\,\,\forall x\ge 0,\,\,\,x\ne 9.

+) Vậy P\notin \mathbb{Z}\Leftrightarrow P\in \left\{ 1\,;\,\,\,2 \right\}

  • TH1: P=1\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\Leftrightarrow 7=\sqrt{x}+3\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16 (thoả mãn ĐK *)
  • TH2: P=2\Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\Leftrightarrow 7=2\sqrt{x}+6\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4} (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên \displaystyle \Leftrightarrow x\in \left\{ 16;\,\,\frac{1}{4} \right\}

Bài 2 (2015)

Cho P=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4} với x>0,\,\,\,x\ne 4.

1) Tính giá trị của P khi x=9

2) Rút gọn Q

3) Tìm x để \displaystyle \frac{P}{Q} đạt GTNN

Giải:

1)

  • Ta thấy \displaystyle x=9 thoả mãn điều kiện x>0,\,\,\,x\ne 4.
  • Thay \displaystyle x=9 vào P ta được: P=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=\frac{12}{3-2}=12.
  • Vậy khi \displaystyle x=9 thì P=12

2) \begin{array}{l}\,Q=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)+5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\,\,=\frac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\end{array}

Vậy Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} & \,\,;\,\,\,\,x>0\,\,;\,\,x\ne 4

\Rightarrow ĐPCM

3) ĐK: x>0,\,\,\,x\ne 4 (*)

\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: \sqrt{x}\,\,v\grave{a}\,\,\frac{3}{\sqrt{x}}, ta có:

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\\\Rightarrow \frac{P}{Q}\ge 2\sqrt{3}\,\,;\,\,\,\forall x>0,\,\,\,x\ne 4\end{array}

+) \frac{P}{Q}=2\sqrt{3}\Leftrightarrowdấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra \Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow x=3(tmđk*)

Vậy x=3 thì \displaystyle \frac{P}{Q} đạt GTNN

Bài 3 (2015)

1) Tính giá trị của A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} khi \displaystyle x=9.

2) Cho P=\left( \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} với x>0,\,\,\,x\ne 1

a) CMR: P-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}

b) Tìm x sao cho: 2P=2\sqrt{x}+5

Giải:

1) +) A xđ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge 0\\\sqrt{x}-1\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 0,\,\,\,x\ne 1

+) Ta thấy khi \displaystyle x=9 thoả mãn điều kiện: x\ge 0,\,\,\,x\ne 1

+) Thay \displaystyle x=9vào A, ta được:

A=\frac{\sqrt{9}+1}{\sqrt{9}-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2

+) Vậy khi \displaystyle x=9 thì A=2

2) \begin{array}{l}P=\frac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\,\,=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\end{array}

Vậy P==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\,\,;\,\,\,\,x\ge 0,\,\,\,x\ne 1    \Rightarrow ĐPCM

3) ĐK: x\ge 0,\,\,\,x\ne 1                (*)

\displaystyle \begin{array}{l}2P=2\sqrt{x}+5\Leftrightarrow 2.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x}+2=2{{\sqrt{x}}^{2}}+5\sqrt{x}\Leftrightarrow 2{{\sqrt{x}}^{2}}+3\sqrt{x}-2=0\\\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\\\sqrt{x}+2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=\frac{1}{2}\\\sqrt{x}=-2\,\,\,\left( VN \right)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( tmk* \right)\end{array}

Vậy \displaystyle x=\frac{1}{4}\, thì 2P=2\sqrt{x}+5

Bài 4 (2013)

Với x>0 , cho A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,\,;\,\,\,B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}

1) Tính giá trị của A khi x=64 .

2) Rút gọn B

3) Tìm x, để \frac{A}{B}>\frac{3}{2}

Giải:

1) +) x=64 thoả mãn điều kiện: x>0

+)  Thay x=64vào A, ta được:

A=\frac{2+\sqrt{64}}{\sqrt{64}}=\frac{2+8}{8}=\frac{5}{4}

+)  Vậy khi x=64 thì A=\frac{5}{4}

2) \displaystyle \begin{array}{l}B=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x+1} \right)+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\end{array}

Vậy: \displaystyle B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1};\,\,\,x>0

3) ĐK: x>0                                (*)

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{A}{B}>\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}>\frac{3}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\end{array}

(Nhân cả hai vế với 2\sqrt{x}>0)

\begin{array}{l}\Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x}+1 \right)>3\sqrt{x}\\\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\\\Leftrightarrow x<4\end{array}

Kết hợp với (*) ta được: 0<x<4  thì \frac{A}{B}>\frac{3}{2}

Bài 5 (2012)

1) Cho A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2} . Tính giá trị của A khi x=36 .

2) Rút gọn B=\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4} \right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2} với x>0,\,\,\,\,x\ne 16.

3) Tìm x nguyên để B.\left( A-1 \right) là số nguyên.

Giải:

1) +) A xđ \Leftrightarrow x\ge 0 .

+) Ta thấy x=36 thoả mãn điều kiện x\ge 0

+) Thay x=36 vào A ta được:

A=\frac{\sqrt{36}+4}{\sqrt{36}+2}=\frac{6+4}{6+2}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}

+) Vậy khi x=36 thì A=\frac{5}{4}

2) \displaystyle B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-4 \right)+4\left( \sqrt{x}+4 \right)}{\left( \sqrt{x}+4 \right)\left( \sqrt{x}-4 \right)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}

\begin{array}{l}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\\=\frac{\left( x+16 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( x-16 \right)\left( x+16 \right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\end{array}

Vậy: B=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16};\,\,x>0,\,\,x\ne 16

3) +) ĐK: x>0,\,\,\,x\ne 16

+) B.\left( A-1 \right)=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\left( \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1 \right)

=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{x-16}

B.\left( A-1 \right)\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{2}{x-16}\in \mathbb{Z} ⇔ x-16\in \left\{ \pm 1\,\,;\,\,\pm 2 \right\} (Vì khi x\in \mathbb{Z} thì x-16\in \mathbb{Z})

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-16=-1\\x-16=1\\x-16=-2\\x-16=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=15\\x=17\\x=14\\x=18\end{array} \right.  tất cả đều thoả mãn điều kiện: x>0,\,\,\,\,x\ne 16

Vậy x\in \left\{ 14\,;\,\,15\,;\,\,17\,;\,\,18 \right\} là các giá trị nguyên của x để B.\left( A-1 \right) nhận giá trị nguyên.

Bài 6 (2011)

Cho A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}-\frac{10\sqrt{x}}{x-25}-\frac{5}{\sqrt{x}+5} với x\ge 0,\,\,\,x\ne 25

1) Rút gọn A.

2) Tính giá trị của A khi x=9

3) Tìm x để A<\frac{1}{3}

Giải:

1) +) A=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x+5} \right)-10\sqrt{x}-5\left( \sqrt{x}-5 \right)}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}

\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-10\sqrt{x}+25}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}\\=\frac{{{\left( \sqrt{x}-5 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}\\=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}\end{array}

Vậy: A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5};\,\,x\ge 0\,;\,\,x\ne 25

2) +) Ta thấy x=9 thoả mãn điều kiện: x\ge 0,\,\,\,x\ne 25

+) Thay x=9 vào A, ta được:

A=\frac{\sqrt{9}-5}{\sqrt{9}+5}=\frac{3-5}{3+5}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}

Vậy khi x=9 thì A=\frac{-1}{4}

3) +) ĐK: x\ge 0,\,\,\,x\ne 25                     (*)

+) A<\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}<\frac{1}{3}

(Nhân cả 2 vế với 3\left( \sqrt{x}+5 \right)>0)

\displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow 3\left( \sqrt{x}-5 \right)<\sqrt{x}+5\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<\,\,20\\\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,<10\\\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,<100\end{array}

Kết hợp điều kiện (*), ta có: \left\{ \begin{array}{l}0\le x<100\\x\ne 25\end{array} \right.   thì A<\frac{1}{3}

Bài 7:

Cho M=\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}  và N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} với x>0,\,\,\,x\ne 1

1) Tính giá trị của N khi x = 25

2) Rút gọn S = M.N

3) Tìm x để S<-1

Giải:

1) +) Ta thấy x=25 thoả mãn đk: x>0,\,\,\,x\ne 1

2) +) M=\frac{\sqrt{2}+2}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}

\displaystyle \begin{array}{l}=\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)-\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\\=\frac{\left( x+\sqrt{x}-2 \right)-\left( x-\sqrt{x}-2 \right)}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\\=\frac{2\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}\end{array}

+) S=M.N=\frac{2\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-1 \right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}

=\frac{2}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{2}{x-1}

Vậy: S=\frac{2}{x-1};\,\,x>0,\,\,x\ne 1.

3) +) ĐK: x>0,\,\,\,x\ne 1                 (*)

+) S<-1\Leftrightarrow \frac{2}{x-1}<-1

\begin{array}{l}\Leftrightarrow \frac{2}{x-1}+1<0\\\Leftrightarrow \frac{2+x-1}{x-1}<0\\\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}<0\end{array}

Vì: x+1>1>0,\,\,\forall x>0 nên: \frac{x+1}{x-1}<0\Leftrightarrow x-1<0\Leftrightarrow x<1

+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: 0<x<1  thì S<-1

Bài 8:

Cho A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}  và  B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}  với x\ge 0,\,\,x\ne 1.

1) Tính giá trị của B khi x=36

2) Rút gọn A.

3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất

Giải:

1) +) Ta thấy x=36 thoả mãn ĐK: x\ge 0,\,\,x\ne 1

+) Thay x=36 vào B ta được: B=\frac{\sqrt{36}+3}{\sqrt{36}+1}=\frac{6+3}{6+1}=\frac{9}{7}

+) Vậy khi x=36thì B=\frac{9}{7}

2) +) A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}

\begin{array}{l}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)+\left( \sqrt{x}-1 \right)-3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}\\=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}\\=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\end{array}

Vậy A==\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2};\,\,x\ge 0,\,\,x\ne 1

3) +) ĐK: x\ge 0,\,\,x\ne 1

+)\,\,S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\,=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}

\begin{array}{l}\bullet )\,\,\forall x\ge 0,\,\,x\ne 1:\\\,\,\,\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+2\ge 0\,\,\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}\le \frac{1}{2}\,\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\end{array}

\displaystyle \begin{array}{l}\bullet )\,\,S=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=2\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\end{array}

\bullet )\,\,\,x=0 thoả mãn đk: x\ge 0,\,\,x\ne 1

Vậy x=0 thì S = A.B đạt GTLN

\Leftrightarrow 6>\sqrt{a}+2\Leftrightarrow \sqrt{a}<4\Leftrightarrow a<16

Bài 9:  Cho A=\left( \frac{1}{\sqrt{a}+2}+\frac{1}{\sqrt{a}-2} \right).\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}

1) Rút gọn A

2) Tìm a để \displaystyle A>\frac{1}{3}

3) Tìm a để B=\frac{9}{4}A nhận giá trị nguyên.

Giải:

1) +) A xác định \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\sqrt{a}\ne 0\\\sqrt{a}\ne 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\a\ne 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)

+) A=\frac{\left( \sqrt{a}-2 \right)+\left( \sqrt{a}+2 \right)}{\left( \sqrt{a}+2 \right)\left( \sqrt{a}-2 \right)}.\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}}\frac{2\sqrt{a}.\left( \sqrt{a}-2 \right)}{\left( \sqrt{a}+2 \right)\left( \sqrt{a}-2 \right).\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{a}+2}

Vậy với A=\frac{2}{\sqrt{a}+2} với a>0,\,\,\,a\ne 4

2) +) ĐK: a>0,\,\,\,a\ne 4

+) A>\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{a}+2}>\frac{1}{3} (nhân cả hai vế với 3\left( \sqrt{a}+2 \right)>0)

\Leftrightarrow 6>\sqrt{a}+2\Leftrightarrow \sqrt{a}<4\Leftrightarrow a<16

+) Kết hợp đk a>0,\,\,\,a\ne 4 ta được: 0<a<16,\,\,\,a\ne 4

3) +) ĐK: a>0,\,\,\,a\ne 4

+) B=\frac{9}{4}A=\frac{9}{4}.\frac{2}{\sqrt{a}+2}=\frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}

  • Dễ thấy: B>0;\,\,\forall a>0,\,\,a\ne 4
  • \forall a>0,\,\,\,a\ne 4

\sqrt{a}>0\Rightarrow \sqrt{a}+2>2\,\Rightarrow 2\left( \sqrt{a}+2 \right)>4\,\Rightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}<\frac{9}{4}=2,25

  • Vậy: 0<B<2,25;\,\,\forall a>0,\,\,\,a\ne 4

Do đó: B\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow B\in \left\{ 1\,\,;\,\,2 \right\}

-) TH1: \displaystyle B=1\Leftrightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}=1\Leftrightarrow 9=2\sqrt{a}+4\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=\frac{25}{4} (thoả mãn đk *)

-) TH2: B=2\Leftrightarrow \frac{9}{2\left( \sqrt{a}+2 \right)}=2\Leftrightarrow 9=4\sqrt{a}+8\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{16} (thoả mãn đk *)

Vây: a\in \left\{ \frac{1}{16};\,\,\frac{25}{4} \right\} thì B\in \mathbb{Z}

Bài 10: Cho A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5}B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{4-6\sqrt{x}}{x-1} với x\ge 0,\,\,\,x\ne 1

1) Tính giá trị của A khi \displaystyle x=9-4\sqrt{5}

2) Rút gọn B

3) Tìm GTNN của S = A.B

Giải:

1) +) Ta thấy x=9-4\sqrt{5}={{\sqrt{5}}^{2}}-2.2.\sqrt{5}+{{2}^{2}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{2}} (thoả mãn Đk: x\ge 0,\,\,\,x\ne 1)

+) Thay \displaystyle x={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{2}} hay \sqrt{x}=\left| \sqrt{5}-2 \right|=\sqrt{5}-2 vào A, ta được:

\displaystyle A=\frac{\left( \sqrt{5}-2 \right)+1}{\left( \sqrt{5}-2 \right)+5}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+3}=\frac{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}-3 \right)}{{{\sqrt{5}}^{2}}-{{3}^{2}}}=\frac{8-4\sqrt{5}}{-4}=\sqrt{5}-2

Vậy: A=\sqrt{5}-2 khi \displaystyle x=9-4\sqrt{5}

2) +) B=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)+3\left( \sqrt{x}-1 \right)+4-6\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,=\frac{{{\sqrt{x}}^{2}}-2\sqrt{x}+1}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}\\\,\,\,\,\,=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\end{array}

Vậy: B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1};\,\,\,x\ge 0,\,\,x\ne 1

3) +) ĐK: x\ge 0,\,\,x\ne 1

+) S=A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}+5-6}{\sqrt{x}+5}=1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}

\displaystyle \begin{array}{l}\bullet )\,\,\forall x\ge 0,\,\,\,x\ne 1:\\\,\,\,\,\,\,\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+5\ge 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \frac{6}{\sqrt{x}+5}\le \frac{6}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \frac{-6}{\sqrt{x}+5}\ge \frac{-6}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow 1-\frac{6}{\sqrt{x}+5}\ge 1-\frac{6}{5}=\frac{-1}{5}\end{array}

\bullet ) Ta thấy \sqrt{x}=0 hay x=0 thì S=\frac{-1}{5}

Vậy GTNN của S là \frac{-1}{5}

Bài 11: Tìm x\in \mathbb{Z} để P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\in \mathbb{Z}

Giải:

* Cách 1:

  • Đk: x\ge 0
  • TH1: x=0\Rightarrow P=0\in \mathbb{Z}\Rightarrow nhận x=0
  • TH2: x>0

+) Dễ thấy: P>0,\,\,\,\forall x>0

+) P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}<\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=3

+) Vậy: 0<P<3

Do đó: P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow P\in \left\{ 1;\,\,2 \right\}

-) P=1\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=1\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=\sqrt{x}+1\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4} (loại vì \frac{1}{4}\notin \mathbb{Z} )

-) \displaystyle P=2\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=2\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+2\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4 (nhận)

  • KL: x\in \left\{ 0;\,\,4 \right\} thì P\in \mathbb{Z}

*) Cách 2: Với x\in \mathbb{Z} ta chia 2 trường hợp sau:

  • TH1: x là số chính phương \Rightarrow \sqrt{x}\in \mathbb{Z} : \displaystyle P=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}

\sqrt{x}+1\in \mathbb{Z}  nên: P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \sqrt{x}+1\in Ư(3)

\begin{array}{l}\Leftrightarrow \sqrt{x}+1\in \left\{ \pm 1\,;\,\,\pm 3 \right\}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}+1=-1\\\sqrt{x}+1=1\\\sqrt{x}+1=3\\\sqrt{x}+1=-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=-2\\\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=-4\end{array} \right.\end{array}

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=4\end{array} \right.           (đều là các số chính phương)

  • TH2: x không là số chính phương

\Rightarrow \sqrt{x} là số vô tỉ    \Rightarrow \sqrt{x}+1 là số vô tỉ

\Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{x}+1} là số vô tỉ

\Rightarrow 3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}là số vô tỉ

\Rightarrow P\notin \mathbb{Z}

Vậy: x\in \mathbb{Z} để P\in \mathbb{Z}x\in \left\{ 0\,;\,\,4 \right\}

Bài 12: Tìm x\ge 0,\,\,x\ne 4 sao cho: \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}

Giải:

  • ĐK: x\ge 0,\,\,x\ne 4 (*)
  • \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-\frac{8}{3}

\displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow \sqrt{x}+2=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 2\sqrt{x}-\frac{8}{3} \right)\\\Leftrightarrow 3\left( \sqrt{x}+2 \right)=\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 6\sqrt{x}-8 \right)\\\Leftrightarrow 3\sqrt{x}+6=6x-2\sqrt{x}-8\\\Leftrightarrow 6{{\sqrt{x}}^{2}}-5\sqrt{x}-14=0\\\Leftrightarrow 6\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+\frac{7}{6} \right)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}-2=0\\\sqrt{x}+\frac{7}{6}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=\frac{-7}{6}<0\end{array} \right.\end{array}

\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4   (không thoả mãn đk (*))

  • Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài 13: Tìm GTNN của P=\frac{x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}

Giải:

  • ĐK: x\ge 0
  • Đặt a=\sqrt{x}+1\ge 1

+) \sqrt{x}=a-1

+) P=\frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}-3\left( a-1 \right)-2}{a}

\begin{array}{l}=\frac{{{a}^{2}}-2a+1-3a+3-2}{a}\\=\frac{{{a}^{2}}-5a+2}{a}=\left( a+\frac{2}{a} \right)-5\end{array}

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và \frac{2}{a}, ta có:

\displaystyle a+\frac{2}{a}\ge 2\sqrt{a.\frac{2}{a}}=2\sqrt{2}\Rightarrow P\ge 2\sqrt{2}-5

+) Ta thấy khi a=\frac{2}{a} tức là a=\sqrt{2} thì P=2\sqrt{2}-5

  • Vậy GTNN của P=2\sqrt{2}-5

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội