Các bất đẳng thức THCS cơ bản và nâng cao

Bài viết này nhắc lại các bất đẳng thức được dùng trong chương trình Toán THCS để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cao.

Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình Toán THCS. Các bài BĐT thường là bài cuối cùng để phân loại học sinh khá giỏi trong các đề tuyển sinh vào cấp 3 môn Toán hoặc trong các kì thi học sinh giỏi.

Các bất đẳng thức ở cấp 2 được dùng đó là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với các bộ số \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} không âm ta có: \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}}

Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Dạng 1: \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}}

Dạng 2: \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}}

Dạng 3: \displaystyle {{\left( {\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}} \right)}^{n}}\ge {{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}

Dấu “=” xảy ra khi \displaystyle {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...{{a}_{n}}

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: Cho \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};...{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};...{{b}_{n}} là 2n số thực tùy ý khi đó

Dạng 1: \displaystyle (a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})\ge {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+...+{{a}_{n}}.{{b}_{n}})}^{2}} (1)

Dạng 2: \displaystyle \sqrt{{(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}}\ge |{{a}_{1}}{{b}_{1}}+...+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}| (2)

Dạng 3: \displaystyle \sqrt{{(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+...+{{a}_{n}}.{{b}_{n}} (3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2) \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=...=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}

Dấu “=” xảy ra ở (3) \displaystyle \Leftrightarrow \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=...=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}\ge 0

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz

Cho \displaystyle {{a}_{1}};{{a}_{2}};...{{a}_{n}};{{b}_{1}};{{b}_{2}};...{{b}_{n}} là các số >0

Ta có: \displaystyle \frac{{x_{1}^{2}}}{{{{a}_{1}}}}+\frac{{x_{2}^{2}}}{{{{a}_{2}}}}+...+\frac{{x_{n}^{2}}}{{{{a}_{n}}}}\ge \frac{{{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}})}}^{2}}}}{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}

Dấu “=” xảy ra khi \displaystyle \frac{{{{x}_{1}}}}{{{{a}_{1}}}}=\frac{{{{x}_{2}}}}{{{{a}_{2}}}}...=\frac{{{{x}_{n}}}}{{{{a}_{n}}}}

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát
Nếu \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge ...\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge ...\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.

Hoặc \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le ...\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le ...\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.

Dạng 1:
\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}.{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\ge \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+...+{{b}_{n}}}}{n}

Dạng 2: \displaystyle n({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}})\ge ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}})({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+...+{{b}_{n}})

Nếu \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\le {{a}_{2}}\le ...\le {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\ge {{b}_{2}}\ge ...\ge {{b}_{n}}} \end{array}} \right.

hoặc \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge ...\ge {{a}_{n}}} \\ {{{b}_{1}}\le {{b}_{2}}\le ...\le {{b}_{n}}} \end{array}} \right.

Dạng 1: \displaystyle \frac{{{{a}_{1}}.{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}.{{b}_{n}}}}{n}\le \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}.\frac{{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+...+{{b}_{n}}}}{n}

Dạng 2: \displaystyle n({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}})\le ({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}})({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+...+{{b}_{n}})

Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với \displaystyle x>-1;r\ge 1\vee r\le 0\Rightarrow {{(1+x)}^{r}}\ge 1+rx

Nếu \displaystyle 1>r>0 thì \displaystyle {{(1+x)}^{r}}\le 1+rx

Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là các số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

\displaystyle \frac{x}{{y+z}}+\frac{z}{{x+y}}+\frac{y}{{x+z}}\ge \frac{3}{2}

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

\displaystyle \frac{a}{{b+c}}+\frac{b}{{d+c}}+\frac{c}{{d+a}}+\frac{d}{{a+b}}\ge 2

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} là những số thực dương thì

\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}}{n}\ge \frac{n}{{\frac{1}{{{{a}_{1}}}}+\frac{1}{{{{a}_{2}}}}+...+\frac{1}{{{{a}_{n}}}}}}

Dấu “=” xảy ra khi \displaystyle {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số không âm

\displaystyle (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc

\displaystyle {{a}^{r}}(a-b)(a-c)+{{b}^{r}}(b-a)(b-c)+{{c}^{r}}(c-a)(c-b)\ge 0 với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có \displaystyle |x+y|\le |x|+|y|

Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay \displaystyle xy\ge 0

Với mọi số thực x,y ta có \displaystyle |x-y|\ge |x|-|y|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle y(x-y)\ge 0

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{m}} và \displaystyle {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{m}} thì :

Dạng 1:

\displaystyle \sqrt{{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}+\sqrt{{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+...+\sqrt{{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}}\ge \sqrt{{{{{({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{m}})}}^{2}}+{{{({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+...+{{b}_{m}})}}^{2}}}}

Dạng 2: Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có

\displaystyle \sqrt[3]{{abc}}+\sqrt[3]{{xyz}}\le \sqrt[3]{{(a+x)(b+y)(c+z)}}\sqrt{{ac}}+\sqrt{{bd}}\le \sqrt{{(a+b)(c+d)}}

Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức

1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.

2. Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển , quy nạp,phản chứng,…

3. Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu “=” xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu “=” có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,…

4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội