Các dạng toán: Tính nhanh giá trị của biểu thức và cách giải

Các bài toán Tính nhanh giá trị của biểu thức ở chương trình tiểu học được chia ra làm 4 dạng cơ bản. Và mỗi dạng có cách giải riêng.

Ở bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách tính giá trị biểu thức sao cho nhanh và đúng.

Dạng 1: Nhóm các số hạng trong biểu thức thành từng nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn,….rồi cộng (trừ) các kết quả lại.

Ví dụ: Tính nhanh:

VD1: 349 + 602 + 651 + 398

= (346 + 651 ) + (602 + 398)

= 1000 + 1000

= 2000

VD2: 3145 – 246 + 2347 – 145 + 4246 – 347

= (3145 – 145) + (4246 – 246) + (2347 – 347)

= 3000 + 4000 + 2000

= 7000 + 2000

= 9000

* Bài tập tương tự:

a. 815 – 23 – 77 + 185

b. 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653

c. 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13 + 15 + 17 + 19

d. 52 – 42 + 37 + 28 – 38 + 63

Dạng 2: Vận dụng tính chất: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số…

Khi hướng dẫn học sinh làm dạng bài tập này, giáo viên cần giúp học sinh nắm được các kiến thức về: một số nhân với một tổng, một số nhân với một hiệu, một tổng chia cho một số….

+ Một số nhân với một tổng: a x (b + c) = a x b + a x c

a x b + a x c = a x (b + c)

+ Một số nhân với một hiệu: a x (b – c) = a x b – a x c

a x b – a x c = a x (b – c)

+ Một tổng chia cho một số: (a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d

a: d + b : d + c: d = (a + b + c) : d

Ví dụ: 19 x 82 + 18 x1 9 15 : 3 + 45 : 3 + 27 : 3

= 19 x ( 82 + 18) = (15 + 45 + 27) : 3

= 19 x 100 = 87 : 3

= 1900 = 29

– Với những biểu thức chưa có thừa số chung, Gv gợi ý để học sinh tìm ra thừa số chung bằng cách phân tích một số ra một tích hoặc từ một tích thành một số….

VD 1 : 35 x 18 – 9 x 70 + 100

= 35 x 2 x 9 – 9 x 70 + 100

= 70 x 9 – 9 x 70 + 100

= 0 + 100

= 100

Trường hợp này giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh phân tích số 18 = 9 x 2 để làm bài

VD 2: 326 x 78 + 327 x 22

Biểu thức này chưa có thừa số chung, GV cần gợi ý để học sinh nhận thấy: 327 = 326 + 1. Từ đó học sinh sẽ tìm được thừa số chung là 326 và tính nhanh dễ dàng

326 x 78 + 327 x 22

= 326 x 78 + (326 + 1) x 22

= 326 x 78 + 326 x 22 + 1 x 22

= 326 x (78 + 22) + 22

= 326 x 100 + 22

= 32600 + 22

= 32622

VD3: 4 x 113 x 25 – 5 x 112 x 20

Với biểu thức này, GV cần gợi ý giúp học sinh nhận thấy được 4 x 25 = 100 và 5 x 20 = 100. Từ đó học sinh sẽ đặt được thừa số chung là 100. Cụ thể:

4 x 113 x 25 – 5 x 112 x 20

= 4 x 25 x 113 – 5 x 20 x 112

= 100 x 113 – 100 x 112

= 100 x (113 – 112)

= 100 x 1

= 100

* Bài tập tương tự:

54 x 113 + 45 x 113 + 113

54 x 47 – 47 x 53 – 20 – 27

10000 – 47 x 72 – 47 x 28

(145 x 99 + 145) – (143 x 101 – 143)

1002 x 9 – 18

8 x 427 x 3 + 6 x 573 x 4

2008 x 867 + 2009 x 133

Dạng 3: Vận dụng tính chất của các phép tính để tính giá trị của biểu thức bằng cách thuận tiện nhất

Đó là các tính chất: 0 nhân với một số, 0 chia cho một số, nhân với 1, chia cho 1,….

Khi tính nhanh giá trị biểu thức dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quan sát biểu thức, không vội vàng làm ngay. Thay vì việc học sinh loay hoay tính giá trị các biểu thức phức tạp, học sinh cần quan sát để nhận biết được biểu thức đó có phép tính nào có kết quả đặc biệt hay không (cho kết quả bằng 0, bằng 1,…) Từ đó thực hiện theo cách thuận tiện nhất.

Ví dụ 1: (20 + 21 + 22 +23 + 24 + 25) x (16 – 2 x 8)

Ta nhận thấy 16 – 2 x 8 = 16 – 16 = 0

Mà bất kì số nào nhân với 0 cũng bằng 0 nên giá trị biểu thức trên bằng 0

Ví dụ 2: 1235 x 6789 x (630 – 315 x 2) : 1996

Ta nhận thấy: 630 – 315 x 2 = 630 – 630 = 0

Vì vậy 1235 x 6789 x (630 – 315 x 2) = 0

Giá trị của biểu thức trên bằng 0 vì 0 chia cho bất kì số nào cũng bằng 0

Ví dụ 3: (m : 1 – m x 1) : m x 2008 + m + 2008) với m là số tự nhiên

Ta xét số bị chia: m : 1 – m x 1 = m – m = 0

Giá trị biểu thức trên sẽ bằng 0 vì 0 chia cho bất kì số nào cũng bằng 0

* Bài tập tương tự:

a. (72 – 8 x9) : (20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25)

b. (500 x 9 – 250 x 18 ) x (1 + 2 + 3 + …+ 9)

c. (11 + 13 + 15 + …+ 19) x (6 x 8 – 48)

Dạng 4: Vận dụng một số kiến thức về dãy số để tính giá trị của biểu thức theo cách thuận tiện nhất

– Giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức về cách tìm số số hạng của một dãy số cách đều để từ đó học sinh vận dụng vào tính nhanh tổng của một dãy số cách đều

Số các số hạng = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

– Sau khi học sinh nắm được cách tìm số hạng của một dãy số cách đều, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tính nhanh tổng dãy số cách đều theo các bước:

Bước 1: Tìm số số hạng của dãy số đó

Bước 2: Tính số cặp có thể tạo được từ số các số hạng đó (Lấy số các số hạng chia 2)

Bước 3: Nhóm các số hạng thành từng cặp, thông thường nhóm số hạng đầu tiên với số cuối cùng của dãy số, cứ lần lượt làm như vậy đến hết

Bước 4: Tính giá trị của một cặp ( các giá trị của từng cặp là bằng nhau)

Bước 5: Ta tính tổng của dãy số bằng cách lấy số cặp nhân với giá trị của một cặp

* Lưu ý trường hợp khi chia số cặp còn dư 1, ta cũng làm tương tự nhưng có một số không ghép cặp, ta nên chọn số không ghép cặp đó cho phù hợp, thông thường ta nên chọn số đứng đầu tiên của dãy hoặc số đứng cuối cùng của dãy

Ví dụ 1: Tính tổng của các số tự nhiên từ 1 đến 100

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …..+ 98 + 99 + 100

Dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 có số các số hạng là:

(100 – 1) : 1 + 1 = 100 (số)

100 số tạo thành số cặp là:

100 : 2 = 50 (cặp)

Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +……. + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + (5 + 96) +…..

= 101 + 101 + 101 + 101 +101 +……

= 101 x 50 = 5050

Với bài tập này, GV có thể khuyến khích học sinh khá giỏi hơn lựa chọn cách ghép cặp:

(1 + 99 ) + (2 + 98) + (3 + 97) + ………. + 100 + 50

= 50 x 100 + 50 = 5050

Ví dụ 2: Tính nhanh tổng các số chẵn có hai chữ số

Các số chẵn có hai chữ số lập thành một dãy số bắt đầu từ 10, kết thúc là 98, cách đều nhau 2 đơn vị

Ta có tổng các số chẵn có hai chữ số là:

10 + 12 + 14 + 16 + …… +92 + 94 + 96 + 98

Dãy số trên có số các số hạng là:

(98 – 10) : 2 + 1 = 45 (số)

45 số tạo thành số cặp là:

45 : 2 = 22 cặp (dư 1 số)

(Trong các số của dãy, ta chọn để riêng 10 và ghép cặp các số còn lại là phù hợp nhất)

Ta có : 10 + 12 + 14 + 16 + …… + 92 + 94 + 96 + 98

= 10 + (12 + 98) + (14 + 96) + (16 + 94) + ……..

= 10 + 110 x 22

= 2430

* Bài tập vận dụng tính nhanh giá trị của biểu thức:

1. Tính tổng của các số lẻ bé hơn 100

2. Tính tổng của 20 số lẻ liên tiếp kể từ 1 trở đí

3. Tính tổng của 20 số chẵn đầu tiên

4. Tính tổng của các số có hai chữ số mà các số đều có chữ số tận cùng là 5

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội