Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng – Toán lớp 7

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn cho các em cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết, dễ hiểu.

Sau mỗi ví dụ là nhận xét về hướng giải quyết một bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ví dụ 1 : Cho D ABC vuông tại B. Trên nữa mặt phẳng bờ BC không có điểm A, vẽ tia Cx vuông góc BC. Trên tia Cx lấy M sao cho CM = AB. Chứng minh A, M và D là trung điểm của BC thẳng hàng.

Giải.

Xét ?ABD và ?MCD, ta có :Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng - Toán lớp 7

\widehat{B} =\widehat{C}=90^0

AB = CM (gt)

DB = DC (D là trung điểm của BC)

=> ΔABD = ΔMCD (2 cạnh góc vuông)

=> \widehat{D_1} =\widehat{D_3}

Mặt khác : \widehat{D_1} \widehat{D_2}=180^0 (B, D, C thẳng hàng)

=>\widehat{D_2} \widehat{D_3}=180^0

Hay : \widehat{ADM} =180^0

=> A, D, M thẳng hàng ( góc bẹt)

Nhận xét: Ở bài này chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh cho góc tạo bởi 3 điểm đó là 180 độ.


Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC, gọi D, E lần lượt  là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh :  A là trung điểm của MN.

GIẢI.

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có :Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng - Toán lớp 7

 DB = DA (D là trung điểm của AB)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh).

DC  = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c -g -c)

=>\widehat{C_1}=\widehat{M} và BC = AM.

Mà : \widehat{C_1}; \widehat{M} ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự,

ta được : BC // AN và BC = AN.

ta có : BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M. N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra : A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh 3 điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN


Ví dụ 3 :

Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc B  = 530.

a) Tính góc C.

b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm E. cmr : ΔBEA = ΔBED.

c) Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB tại F. cm : ΔBHF = ΔBHC.

d) Cmr : ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng.

Giải.

a. Tính góc C :

Xét ΔBAC, ta có :

\widehat{A} \widehat{B} \widehat{C} =180^0

=> \widehat{C} =180^0-(\widehat{A} \widehat{B})

=>  \widehat{C} =180^0-(90^0 53^0)=37^0

b. ΔBEA = ΔBED :Các ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng - Toán lớp 7

Xét ΔBEA và ΔBED, ta có :

BE cạnh chung.

\widehat{ABE} =\widehat{DBE} (BE là tia phân giác của góc B)

BD = BA (gt)

=> ΔBEA = ΔBED (c – g – c)

c. ΔBHF = ΔBHC

Xét ΔBHF và ΔBHC, ta có :

BH cạnh chung.

\widehat{ABH} =\widehat{DBH} (BE là tia phân giác của góc B)

\widehat{BHF} =\widehat{BHC}=90^0  (gt)

=> ΔBHF = ΔBHC (cạnh huyền – góc nhọn)

=> BF = BC (cạnh tương ứng)

d. ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng

xét ΔBAC và ΔBDF, ta có:

BC = BF (cmt)

Góc B chung.

BA = BC (gt)

=> ΔBAC = ΔBDF

=> \widehat{BAC} =\widehat{BDF}

Mà : \widehat{BAC} =90^0 (gt)

Nên : \widehat{BDF} =90^0 hay BD \bot DF (1)

Mặt khác : \widehat{BAE} =\widehat{BDF}  (hai góc tương ứng của  ΔBEA = ΔBED)

Mà : \widehat{BAE} =90^0 (gt)

Nên : \widehat{BDE} =90^0 hay BD \bot DE (2)

Từ (1) và (2), suy ra : DE trùng DF

Hay : D, E, F thẳng hàng.


Bài tập tự giải:

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AB = FA. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AC = AE.

a) Chứng minh: Δ EAF = Δ CAB

b) Gọi K là trung điểm EF và D là trung điểm BC. Chứng minh : KB = FD.

d) Chứng minh: K, A, D thẳng hàng.

Ví dụ 2 :Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.

a) Chứng minh Δ MAD = Δ MBC và AD // CB.

b) Lấy N thuộc AD; NM cắt BC tại P. Chứng minh AN = BP.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm D, vẽ tia AE sao cho góc EAB góc ABC = 180^0 . Chứng tỏ D, A, E thẳng hàng.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội