Cách chia đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức, đa thức cho một biến

Bài viết này hướng dẫn các em học sinh lớp 8 phương pháp chia đa thức, một dạng toán quen thuộc trong chương trình Đại số 8.

Đi kèm với lý thuyết chia đơn thức, chia đa thức là ví dụ minh họa, cuối cùng là bài tập tự giải.

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Quy tắc :

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :

Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến trong B.

Nhân các kết quả lại với nhau.

Nhắc lại công thức :

a: am = am – n

Ví dụ minh họa :

8x3y2z : 2xy = (8 : 2).( x: x).(y: y).z = 4.x2.y.z

2. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc :

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử trong đa thức A chia hết cho đơn thức B) ta chia từng hạng tử trong đa thức A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ minh họa (bài 64 trang 28 SGK ):

(3x2y2 + 6x2y3 – 12xy) : 3xy

= (3x2y2 : 3xy )+ (6x2y3 : 3xy ) +(– 12xy : 3xy) = xy + 2xy2 – 4

3. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta có :

A : B = C dư D.

  • Nếu D = 0 thì A chia hết cho B.
  • Nếu D ≠ 0 thì A không chia hết cho B.

Ví dụ minh họa (bài 67 trang 31 SGK ):

(2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2 ) = (2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2) : (x2 – 2 )

Sắp thành bảng phép chia :

2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2 x2 – 2
A B

Bước 1 :

Tiếp theo : lấy (đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia) chia cho (đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia) :  B = 2x4 : x2 = 2x2

A = (x2 – 2) . B = (x2 – 2). 2x2x4 – 4x2

Ta được :

2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2 x2 – 2
2x4          – 4x2 2x2

Tiếp theo : lấy (đa thức bị chia) trừ cho A :

2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2 x2 – 2
2x4          – 4x2 2x2
  – 3x+ x2 + 6x – 2

Bước 2 + 3 : giống bước 1 nhưng đa thức bị chia là  kết quả của phép trừ : – 3x3  : x = -3x

2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2 x2 – 2
2x4          – 4x2 2x2  – 3x  + 1
O – 3x3+ x2 + 6x – 2
    – 3x3       +  6x
x– 2
x– 2
  0

Trong D = 0 : chia hết.

Vậy : (2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2 ) = 2x2  – 3x  + 1


BÀI TẬP SGK

BÀI 59 TRANG 29 :

a)      53 : (-5)2 =53 : 52  =53-2 = 5

b)      (\frac{3}{4})^5:(\frac{3}{3})^3=(\frac{3}{4})^{5-3}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}

c)      (-12)3 : ( 8)3 =(-12 :  8 )3=(\frac{-3}{2})^3=\frac{-27}{8}

BÀI 60 TRANG 22 :

a)      x10 : (-x)8 =x10 : x8  =x10-8 = x2

b)      (- x)5 : (- x)3 = (-x)5-3 = (-x)= x2

c)      (- y)5 : (- y)3 = (-x)5-3 = (-x)= x2

BÀI 61 TRANG 22 :

a)      5x2y4 : 10x2y = (5 : 10).( x2 : x2 ).( y4 : y) =\frac{1}{2} .1. y =\frac{y^3}{2}

b)      \frac{3}{4}x^3y^3:(-\frac{1 }{2} x^2y^2)=(\frac{3}{4}:-\frac{1}{2})(x^3:x^2).(y^3:y^2)=-\frac{3}{2}xy

c)      (-xy)10 : (-xy)5 =(-xy)10-5  = (-xy)5 = -x5y5

BÀI 61 TRANG 22 :

Tính Giá trị của biểu thức : 15x4y3z2 : 5xy2z2 tại x = 2, y = – 10 và z = 2004.

Rút gọn  : A = 15x4y3z2 : 5xy2z2 = (15 : 5).( x4: x).( y3: y2).( z2: z2) = 3.x3.y.1 = 3x3y

Khi : x = 2, y = – 10 và z = 2004 thì A = 3.23 .(-10)  = -240

BÀI 64 TRANG 28 SGK:

a) (-2x5 + 3x2 – 4x3) : 2x2 = (-2x5 : 2x2 ) + (3x2 : 2x2 ) + (– 4x3: 2x2)  = -x3 + 3/2 – 2x

c) (3x2y2 + 6x2y3 – 12xy) : 3xy = (3x2y2 : 3xy )+ (6x2y3 : 3xy ) +(– 12xy : 3xy)

= xy + 2xy2 – 4

BÀI 67 TRANG 31 SGK:

a) (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3) = (x3 – x2– 7x + 3) : (x – 3)

x3 – x2– 7x + 3x3 – 3x2 x – 3
x2  + 2x  – 1
O + 2x– 7x + 32x2 – 6x
– x + 3– x + 3
  0

Vậy : (x3 – 7x + 3 – x2) : (x – 3) = x2  + 2x  – 1

b) (2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2 ) = (2x4– 3x– 3x2 + 6x – 2) : (x2 – 2 )

2x4– 3x– 3x2+ 6x – 22x4          – 4x2 x2 – 2
2x2  – 3x  + 1
O – 3x3+ x2 + 6x – 2      –  3x3       +  6x
x– 2x– 2
  0

Vậy : (2x4 – 3x3 – 3x2 – 2 + 6x) : (x2 – 2 ) = 2x2  – 3x  + 1

BÀI 68 TRANG 31 SGK:

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện pháp chia :

a)      (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y)  = (x + y)

b)      (125x3+ 1) : (5x + 1) = ((5x)3 + 13) : (5x + 1) = (5x + 1) (25x2 – 5x + 1) : (5x + 1)

= 25x2 – 5x + 1

c)      (x2 – 2xy + y2) : (y – x) = (x – y)2 : -(x – y)  = – (x – y)

BÀI 69 TRANG 31 SGK:

Cho hai đa thức : A = 3x4 + x3 + 6x – 5 và B = x2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B. rồi viết A = B.Q = R

3x4 + x3       + 6x –53x4        + 3x x2 + 1
3x2  + x – 3
O +  x3 –  3x + 6x – 5x3             + x
–  3x + 5x – 5–  3x          – 3
  5x – 2

dư R = 5x – 2

A = (x2 + 1)(3x2  + x – 3) + 5x – 2

BÀI 74 TRANG 32 SGK:

Tìm số a để đa thức 2x3 – 3x2 + x + a chia hết cho x + 2

2x3 – 3x2+ x + a2x+4x2 x + 2
2x2 – 7x + 15
O   – 7x2+ x + a– 7x2– 14x
            15x + a            15x + 30
  a – 30

Phép chia hết khi : a – 30 = 0 < => a = 30

BÀI 83 TRANG 33 SGK:

TÌM n thuộc Z để 2n2 – n + 2 chia hết 2n + 1.

2n2– n + 22n2 + n 2n + 1
n  – 1
O   – 2n + 2– 2n – 1
                     3

Phép chia hết khi : 2n + 1 có giá trị là U(3) ={ ±1; ±3}

  • khi : 2n + 1 = 1 => n = 0
  • khi : 2n + 1 = -1 => n = -1
  • khi : 2n + 1 = 3 => n = 1
  • khi : 2n + 1 = -3 => n =-2

Vậy : n = 0, – 1, 1, – 2

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội