Cách giải bài toán 2 tỉ số, tổng hoặc hiệu không đổi – Toán nâng cao lớp 5

Bài toán 2 tỉ số với tổng hoặc hiệu không đổi là dạng toán nâng cao lớp 5 thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 6 các trường chuyên, chất lượng cao.

Cách giải chung của dạng toán này như sau:

– Bước 1: Xác định đại lượng không thay đối của bài toán (Tổng, Hiệu…)

– Bước 2: Biểu diễn đại lượng thay đổi theo đại lượng không đổi dưới dạng phân số

– Bước 3: Xác định đại lượng thay đổi theo phân số

– Bước 4: Xác định giá trị đại lượng không đổi.

Chúng ta đi vào ví dụ cụ thể để giải bài toán .

Dạng 1: 2 Tỉ số và tổng hai số không đổi

Ví dụ 1: Một đàn vịt có một số con trên bờ và một số con ở dưới ao. Biết số vịt trên bờ bằng \displaystyle \frac{1}{3} số vịt đang bơi dưới ao. Khi có 2 con vịt từ dưới ao lên trên bờ thì số vịt trên bờ bằng \displaystyle \frac{1}{2} số vịt dưới ao. Hỏi đàn vịt có bao nhiêu con và ban đầu trên bờ có bao nhiêu con vịt.

Lời giải chi tiết:

*Chú ý: tổng số vịt ban đầu và lúc sau không đổi.

Ban đầu:

Số vịt trên bờ ban đầu: |—|

Số vịt dưới ao ban đầu: |—|—|—|

(Coi số vịt trên bờ lúc sau là 1 phần thì số vịt dưới ao lúc sau là 3 phần. Tổng số phần bằng nhau là 1 + 3 = 4)

Số vịt trên bờ ban đầu bằng: \displaystyle \frac{1}{{1+3}}=\frac{1}{4} (cả đàn vịt)

Lúc sau:

Số vịt trên bờ lúc sau: |—|

Số vịt dưới ao lúc sau: |—|—|

(Coi số vịt trên bờ lúc sau là 1 phần thì số vịt dưới ao lúc sau là 2 phần. Tổng số phần bằng nhau là 1 + 2 = 3)

Số vịt trên bờ lúc sau bằng: \displaystyle \frac{1}{{1+2}}=\frac{1}{3} (cả đàn vịt)

2 con vịt bằng số vịt trên bờ lúc sau trừ đi số vịt trên bờ ban đầu.

Khi đó 2 con vịt chiếm số phần cả đàn là: \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{{12}} (cả đàn vịt)

=> Đàn vịt có: \displaystyle 2:\frac{1}{{12}}=24 (con vịt)

=> Số vịt trên bờ ban đầu là: 24 : 4 = 6 (con vịt)

Ví dụ 2: Đội tuyển trường em tham gia Hội khỏe Phù Đống, ban đầu số nữ bằng \displaystyle \frac{3}{4} số nam. Sau khi thay thế 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số nữ bằng \displaystyle \frac{2}{3} số nam. Hỏi đội tuyển trường có bao nhiêu bạn?

Lời giải chi tiết:

*Chú ý: Số học sinh đội tuyển ban đầu và lúc sau không đổi.

Ban đầu:

Số nữ ban đầu: |—|—|—|

Số nam ban đầu: |—|—|—|—|—|—|—|

(Coi số nữ ban đầu là 3 phần thì số nam ban đầu là 4 phần. Tổng số phần bằng nhau là 3 + 4 = 7)

Số nữ ban đầu bằng: \displaystyle \frac{3}{{3+4}}=\frac{3}{7} (số học sinh cả đội)

Lúc sau:

Số nữ lúc sau: |—|—|

Số nam lúc sau: |—|—|—|

(Coi số nữ lúc sau là 2 phần thì số nam lúc sau là 3 phần. Tổng số phần bằng nhau là 2 + 3 = 5)

Số nữ lúc sau bằng: \displaystyle \frac{2}{{2+3}}=\frac{2}{5} (số học sinh cả đội)

1 bạn nữ bằng số bạn nữ lúc đầu trừ đi số bạn nữ lúc sau.

Khi đó 1 bạn nữ chiếm số phần cả đội là: \displaystyle \frac{3}{7}-\frac{2}{5}=\frac{1}{{35}} (số học sinh cả đội)

=> Cả đội có: \displaystyle 1:\frac{1}{{35}}=35 (học sinh)

Vậy đội tuyển trường có 35 bạn.

Dạng 2: 2 Tỉ số và Hiệu hai số không đổi

Ví dụ 1: Hai số có tỉ số là \displaystyle \frac{3}{8}, nếu cùng thêm 10 vào 2 số thì được tỉ số mới là \displaystyle \frac{7}{17}. Tìm hai số đó.

Lời giải chi tiết:

*Chú ý: Hiệu 2 số ban đầu và lúc sau không đổi.

Ban đầu:

Số thứ nhất ban đầu: |—|—|—|

Số thứ hai ban đầu:   |—|—|—|—|—|—|—|—|

(Coi số thứ nhất ban đầu là 3 phần thì số thứ hai ban đầu là 8 phần. Hiệu số phần bằng nhau là 8 – 3 = 5)

Số thứ nhất ban đầu bằng: \displaystyle \frac{3}{{8-3}}=\frac{3}{5} (hiệu 2 số)

Lúc sau:

Số thứ nhất lúc sau: |—|—|—|—|—|—|—|

Số thứ hai lúc sau:   |—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|

(Coi số thứ nhất lúc sau là 7 phần thì số thứ hai lúc sau là 17 phần. Hiệu số phần bằng nhau là 17 – 7 = 10)

Số thứ nhất lúc sau bằng: \displaystyle \frac{7}{{17-7}}=\frac{7}{10} (hiệu 2 số)

Số thứ nhất lúc sau trừ đi số thứ nhất ban đầu bằng 10 nên:

10 chiếm số phần so với hiệu là: \displaystyle \frac{7}{{10}}-\frac{3}{5}=\frac{1}{{10}} (hiệu 2 số)

=> Hiệu 2 số là: \displaystyle 10:\frac{1}{{10}}=100

Số thứ nhất ban đầu là: \displaystyle \frac{3}{5}\times 100=60

Số thứ hai ban đầu là: \displaystyle 60:\frac{3}{8}=160

Vậy 2 số cần tìm là: 60 và 160.

Ví dụ 2: Một giá sách có 2 ngăn, số sách ngăn dưới bằng \displaystyle \frac{6}{5} số sách ngăn trên. Nếu xếp 15 quyển sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ngăn dưới bằng \displaystyle \frac{12}{11} số sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?

Lời giải chi tiết:

Ban đầu:

Số sách ngăn dưới ban đầu: |—|—|—|—|—|—|

Số sách ngăn trên ban đầu:   |—|—|—|—|—|

(Coi số sách ngăn dưới ban đầu là 6 phần thì số sách ngăn trên ban đầu là 5 phần)

Số sách ngăn trên ban đầu bằng: \displaystyle \frac{5}{6} (số sách ngăn dưới)

Lúc sau:

Số sách ngăn dưới lúc sau: |—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|

Số sách ngăn trên lúc sau:   |—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|—|

(Coi số sách ngăn dưới lúc sau là 12 phần thì số sách ngăn trên lúc sau là 11 phần)

Số sách ngăn trên lúc sau bằng: \displaystyle \frac{11}{12} (số sách ngăn dưới)

Do xếp thêm vào ngăn trên 15 quyển sách thì lúc đó số sách ngăn dưới bằng \displaystyle \frac{12}{11} số sách ngăn trên nên:

=> 15 quyển sách ứng với: \displaystyle \frac{{11}}{{12}}-\frac{5}{6}=\frac{1}{{12}} (số sách ngăn dưới)

Vậy ngăn dưới có: \displaystyle 15:\frac{1}{{12}}=180 (quyển)

Ngăn trên có: \displaystyle 180:\frac{6}{5}=150 (quyển)

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội