Cách tính giá trị của biểu thức chứa căn

Để tính được giá trị của một biểu thức chứa căn thức chúng ta cần phải nhớ các kiến thức về căn bậc hai, căn bậc ba và phép khai phương.

Nhắc lại lý thuyết:

– Căn bậc hai của một số a không âm là số $ x$ sao cho $ {{x}^{2}}~=\text{ }a$.

Số $ a>0$ có hai căn bậc hai là $ \sqrt{a}$ và $ -\sqrt{a}$ , trong đó $ \sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a.

– Căn bậc ba của một số thực a là số $ x$ sao cho $ {{x}^{3}}=\text{ }a$, kí hiệu $x=\sqrt[3]{a}$ .

– Phép khai phương đơn giản:

$ \sqrt{{{{A}^{2}}}}=|A|$ (với $ \forall A$)

$ \sqrt{{AB}}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}$ (với $ A,B\ge 0$)

$ \sqrt{{\frac{A}{B}}}=\frac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$ (với ∀ $ {A,B}$)

$ \sqrt[3]{{AB}}=\sqrt[3]{A}\cdot \sqrt[3]{B}$ (với $ A\ge 0;B>0$)

$ \sqrt[3]{{\frac{A}{B}}}=\frac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}$ (với ∀ $ B\ne 0$)

Cách tính giá trị của biểu thức chứa căn

Chúng ta sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức trong căn. Các em xem ví dụ dưới đây để nắm được phương pháp tính giá trị của biểu thức chứa căn.

Ví dụ 1: Tính:

a) Căn bậc hai của 100

b) $\displaystyle \sqrt{16+9}$

c) $\displaystyle \sqrt[3]{64}$

d) $\displaystyle \sqrt{16.9}$

Giải:

a) Căn bậc hai của 100 bằng 10.

b) $\displaystyle \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5$

c) $\displaystyle \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^{3}}=4$

d) $\displaystyle \sqrt{16.9}=\sqrt{4^{2} \cdot 3^{2}}=\sqrt{(4.3)^{2}}=4.3=12$

Ví dụ 2: Tính:

a) $\displaystyle \sqrt{810.40}$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}$

c) $\displaystyle \frac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}$

d) $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27.125}}{\sqrt[3]{500.2}}$

Giải:

a) $\displaystyle \sqrt{810.40}=\sqrt{81.10 .40}=\sqrt{81.400}$

$=\sqrt{9^{2} \cdot 20^{2}}=\sqrt{(9.20)^{2}}=9.20=180$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{\frac{3^{5} \cdot 4^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{4^{2}}=4$

c) $\displaystyle \frac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}=\frac{\sqrt{180: 5}}{\sqrt{200: 8}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{5^{2}}}=\frac{6}{5}$

d) $\displaystyle \frac{{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{{27.125}}}}{{\sqrt[3]{{500.2}}}}=\frac{{\sqrt[3]{{{{2}^{3}}}}+\sqrt[3]{{{{3}^{3}}{{{.5}}^{3}}}}}}{{\sqrt[3]{{1000}}}}=\frac{{2+3.5}}{{10}}=\frac{{17}}{{10}}$

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức

a) $\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$

b) $\displaystyle \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$

c) $\displaystyle \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$

d) $\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

Giải:

a) $\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$

$=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{2+2 \sqrt{2}+1}+\sqrt{(-2)^{6}}$

$=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{(1+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$

$=|1-\sqrt{2}|-|1+\sqrt{2}|+\left|(-2)^{3}\right|$

$=\sqrt{2}-1-(1+\sqrt{2})+8$

$=\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}+8$

$=6$

b) $\displaystyle \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$

$=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2+4}+\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 1+1}$

$=\sqrt{(\sqrt{3}+2)^{2}}+\sqrt{(2 \sqrt{3}-1)^{2}}$

$=|\sqrt{3}+2|+|2 \sqrt{3}-1|$

$=\sqrt{3}+2+2 \sqrt{3}-1$

$=3 \sqrt{3}+1$

c) $\displaystyle \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$

$=\sqrt[3]{2 \sqrt{2}-3.2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1-1}-\sqrt[3]{2 \sqrt{2}+3 \cdot 2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+1}$

$=\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}$

$=\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}+1)$

$=-2$

d) $\displaystyle \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

$=\frac{1}{2} \cdot(2 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+2 \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})$

$=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{16+8 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}})$

$=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{5 \sqrt{5}+3.5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1+1}+\sqrt[3]{5 \sqrt{5}-3 \cdot 5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1-1})$

$=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{(\sqrt{5}+1)^{3}}+\sqrt[3]{(\sqrt{5}-1)^{3}})$

$=\frac{1}{2} \cdot(\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1)$

$=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5}=\sqrt{5}$

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức $ Q=\frac{1}{{\sqrt{{x+3}}\cdot \sqrt{{x-3}}}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+7x+4}}$ tại $ x=5$

Giải:

Tại $ x=5$ ta có:

$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Q} &=\frac{1}{\sqrt{5+3} \cdot \sqrt{5-3}}+\sqrt{5^{2}+7.5+4} \\ &=\frac{1}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}+\sqrt{64} \\ &=\frac{1}{\sqrt{8.2}}+8 \\ &=\frac{1}{4}+8=\frac{33}{8} \end{aligned}$

Bài tập tính giá trị của biểu thức chứa căn có lời giải

Bài 1: Căn bậc hai số học của 64 là:

A. 8    B. -8    C. 32    D. -32

Giải:

Căn bậc hai số học của 64 là 8 vì 82 = 64.

⇒ Chọn đáp án A.

Bài 2: Căn bậc ba của -27 là:

A. 3     B. 9     C. -9     D. -3.

Giải:

Căn bậc ba của -27 là -3 vì (-3)3 = -27.

⇒ Chọn đáp án D.

Bài 3: Giá trị biểu thức $3 \sqrt{5}-\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}$ bằng:

$\displaystyle \begin{array}{llll}\text { A. }-1+4 \sqrt{5} & \text { B. } 1+2 \sqrt{5} & \text { C. } 1-4 \sqrt{5} & \text { D. } \sqrt{5}-1\end{array}$

Giải:

$3 \sqrt{5}-\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=3 \sqrt{5}-|1-\sqrt{5}|$

$=3 \sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)=3 \sqrt{5}-\sqrt{5}+1=2 \sqrt{5}+1$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài 4: Kết quả của phép tính $\displaystyle \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$ là:

$\displaystyle \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{2} & \text { B. }-2 \sqrt{2} & \text { C. } 2 \sqrt{5} & \text { D. }-2 \sqrt{5}\end{array}$

Giải:

$\displaystyle \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$

$=\sqrt{5-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+2}-\sqrt{5+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}+5}$

$=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}$

$=|\sqrt{5}-\sqrt{2}|-|\sqrt{5}+\sqrt{2}|$

$=(\sqrt{5}-\sqrt{2})-(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

$=-2 \sqrt{2}$

⇒ Chọn đáp án B.

Bài 5: Giá trị biểu thức $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$ tại $ x=4$ là:

$\displaystyle \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{15} & \text { B. }-2 \sqrt{15} & \text { C. } 2 & \text { D. }-2 .\end{array}$

Giải:

Tại $ x=4$ thì:

$\displaystyle \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$

$=\sqrt{4^{2}+2 \sqrt{4^{2}-1}}-\sqrt{4^{2}-2 \sqrt{4^{2}-1}}$

$=\sqrt{16+2 \sqrt{15}}-\sqrt{16-2 \sqrt{5}}$

$=\sqrt{15+2 \sqrt{15}+1}-\sqrt{15-2 \sqrt{15}+1}$

$=\sqrt{(\sqrt{15}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{15}-1)^{2}}$

$=|\sqrt{15}+1|-|\sqrt{15}-1|$

$=(\sqrt{15}+1)-(\sqrt{15}-1)$

$=2$

⇒ Chọn đáp án C.

Bài 6: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác:

$\displaystyle \begin{array}{lll}\text { a) } 4-2 \sqrt{3} & \text { b) } 7+4 \sqrt{3} & \text { c) } 13-4 \sqrt{3}\end{array}$

Giải:

a) $4-2 \sqrt{3}=3-2 \sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^{2}$

b) $7+4 \sqrt{3}=4+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^{2}$

c) $13-4 \sqrt{3}=(2 \sqrt{3})^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3}+1=(2 \sqrt{3}-1)^{2}$

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=\sqrt{4.8 .16 .32}$

b) $\displaystyle \mathrm{B}=\sqrt{\frac{3}{15}}: \sqrt{\frac{36}{45}}$

c) $C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \cdot \sqrt[3]{\frac{16}{10}}$

Giải:

a)

$A=\sqrt{4.8 .16 .32}=\sqrt{2^{2} .2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{5}}$

$=\sqrt{2^{14}}=\sqrt{\left(2^{7}\right)^{2}}=2^{7}=128$
b)

$\displaystyle \mathrm{B}=\sqrt{\frac{3}{15}}: \sqrt{\frac{36}{45}}=\sqrt{\frac{3}{15}: \frac{36}{45}}$

$=\sqrt{\frac{3}{15} \cdot \frac{45}{36}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}$
c)

$C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \sqrt[3]{\frac{16}{10}}=\sqrt[3]{(-0,5) \cdot 1,25 \cdot \frac{16}{10}}$

$=\sqrt[3]{\frac{-1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{10}}=\sqrt[3]{-1}=-1$

Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

a) $\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$

c) $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}+3}$

Giải:

a) $\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}$

$=\frac{12+2 \sqrt{35}+12-2 \sqrt{35}}{7-5}$

$=\frac{24}{2}=12$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}+\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$

$=\frac{(\sqrt{3+\sqrt{5}})^{2}+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^{2}}{\sqrt{3-\sqrt{5} \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}}}$

$=\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

$=\frac{6}{2}=3$

c) $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}+3}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

$=\frac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-2}$

$=2-\frac{1}{\sqrt{3}-2}$

$=\frac{2 \sqrt{3}-4-1}{\sqrt{3}-2}$

$=\frac{2 \sqrt{3}-5}{\sqrt{3}-2}$

$=\frac{(2 \sqrt{3}-5)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}$

$=\frac{-4-\sqrt{3}}{-1}=4+\sqrt{3}$

Bài 9: Tính:

a) $\displaystyle \sqrt{4+2 \sqrt{3}}$

b) $\displaystyle \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$

c) $\displaystyle \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}$

Giải:

a) $\displaystyle \sqrt{4+2 \sqrt{3}}=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1+1}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\sqrt{3}+1$

b) $\displaystyle \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}$

$=\sqrt{5-\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+2.2 \sqrt{3}+1}}$

$=\sqrt{5-\sqrt{(2 \sqrt{3}+1)^{2}}}=\sqrt{5-(2 \sqrt{3}+1)}$

$=\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$

$=\sqrt{3-2 \sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=|\sqrt{3}-1|$

$=\sqrt{3}-1$

$\displaystyle \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 3+9}$

Ta có:

$\displaystyle \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2.2 \sqrt{5} .3+9}$

$=\sqrt{(2 \sqrt{5}-3)^{2}}=|2 \sqrt{5}-3|=2 \sqrt{5}-3$

Do đó:

$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}} &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-(2 \sqrt{5}-3)}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2 \sqrt{5}+1}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}} \\ &=\sqrt{{\sqrt{5}-\left| {\sqrt{5}-1} \right|}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)} \\ &=\sqrt{1}=1 \end{aligned}$

Bài 10: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$

Giải:

Ta thấy:

$\displaystyle \sqrt{60}=2 \sqrt{15}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$

$\displaystyle \sqrt{140}=2 \sqrt{35}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$

$\displaystyle \sqrt{84}=2 \sqrt{21}=2 \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}$

Và $15=3+5+7$

Áp dụng hằng đẳng thức:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$

$=\sqrt{3+5+7+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}$

$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})^{2}}$

$=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *