Cách tính nguyên hàm của đa thức

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một đa thức thông qua các ví dụ có lời giải.

Để tính được nguyên hàm của của một hàm số là đa thức chúng ta cần áp dụng các công thức trong bảng nguyên hàm dưới đây:

$\displaystyle\int x^{\alpha} d x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$

$\displaystyle\int 0 d x=C ; \int d x=\int 1 . d x=x+C$

$\displaystyle\int k x^{\alpha} d x=\frac{k}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)$

Trong đó, k là hằng số.

$\displaystyle\int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

Ví dụ tính nguyên hàm của đa thức

Ví dụ 1. Họ nguyên hàm của hàm số $\displaystyle f\left( x \right)=\text{ }{{x}^{2}}~-\text{ }2x\text{ }+\text{ }{{x}^{{-2}}}$ là

A. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2+\frac{1}{x}+C$

B. $\displaystyle F(x)=2x+\frac{2}{x}+C$

C. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}-\frac{1}{x}+C .$

D. $\displaystyle F(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+x+C$

Giải:

$\int f(x) d x=\int\left(x^{2}-2 x+x^{-2}\right) d x=\int x^{2} d x-2 \int x \mathrm{d} x+\int x^{-2} d x=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-\frac{1}{x}+C$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số: $f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}+\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}$

A. $\displaystyle g(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{4}{x}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}$

B. $\displaystyle h(x)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+x$

C. $\displaystyle k(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{x}$

D. $\displaystyle u(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}$

Giải:

Ta có:

$\displaystyle \int{f}(x)dx=\int{{\left( {4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\frac{2}{{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}dx$

$\displaystyle =4\int{{{{x}^{3}}}}dx+3\int{{{{x}^{2}}}}dx+2\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx-\int{{{{x}^{{-3}}}}}dx$

$\displaystyle =4\cdot \frac{{{{x}^{4}}}}{4}+3\cdot \frac{{{{x}^{3}}}}{3}+2\cdot \frac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}-\frac{{{{x}^{{-2}}}}}{{-2}}+C$

$\displaystyle ={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}+C$

⇒ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3. Nguyên hàm F(x) của hàm số $\displaystyle f(x)=\frac{{2{{x}^{4}}+3}}{{{{x}^{2}}}}\quad (x\ne 0)$ là

A. $\displaystyle F(x)=\frac{{2{{x}^{3}}}}{3}-\frac{3}{x}+C$

B. $\displaystyle F(x)=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}-\frac{3}{x}+C$

C. $\displaystyle F(x)=-3{{x}^{3}}-\frac{3}{x}+C$

D. $\displaystyle F(x)=\frac{{2{{x}^{3}}}}{3}+\frac{3}{x}+C$

Giải:

$\displaystyle\begin{aligned} I &=\int\left(\frac{2 x^{4}+3}{x^{2}}\right) d x=2 \int x^{2} d x+3 \int \frac{1}{x^{2}} d x \\ &=\int\left(2 x^{2}+\frac{3}{x^{2}}\right) d x=\frac{2 x^{3}}{3}-\frac{3}{x}+C \end{aligned}$

⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4. Nguyên hàm F(x) của hàm số $\displaystyle f(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)^{2} \quad(x \neq 0)$ là

A. $\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+2 x+C$

B. $\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{x}+2 x+C$

C. $\displaystyle F(x)=\frac{\frac{x^{3}}{3}+x}{\frac{x^{2}}{2}}+C$

D. $\displaystyle F(x)=\left(\frac{\frac{x^{3}}{3}+x}{\frac{x^{2}}{2}}\right)^{3}+C$

Giải:

$\displaystyle \begin{array}{l}\int{f}(x)dx=\int{{{{{\left( {\frac{{{{x}^{2}}+1}}{x}} \right)}}^{2}}}}dx=\int{{{{{\left( {x+\frac{1}{x}} \right)}}^{2}}}}dx\\=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)}}dx=\int{{\left( {{{x}^{2}}+2+{{x}^{{-2}}}} \right)}}dx\\=\int{{{{x}^{2}}}}dx+\int{2}dx+\int{{{{x}^{{-2}}}}}dx\\=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}+2x+\frac{{{{x}^{{-1}}}}}{{-1}}+C=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}-\frac{1}{x}+2x+C\end{array}$

⇒ Chọn đáp án A.

Vi du 5. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f'(x) = 2x + 1$ và $f(1) = 5$

A. $x^{2}+x+3 \quad$

B. $x^{2}+x-3 \quad$

C. $x^{2}+x \quad$

D. $x^{2}-x$

Theo giả thiết ta có:

$\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)=\int{{(2x+1)}}dx} \\ {f(1)=5} \end{array}\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x)={{x}^{2}}+x+C} \\ {f(1)={{1}^{2}}+1+C=5} \end{array}\Rightarrow C=3} \right.} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $\displaystyle f\left( x \right)\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }x\text{ }+\text{ }3$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *