Cách tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một hàm số chứa căn thức thông qua các ví dụ có lời giải.

Phương pháp tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức.

Công thức áp dụng:

$\displaystyle\int x^{\alpha} d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C ;(\alpha \neq-1)$

$\displaystyle\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}$

Ví dụ tính nguyên hàm của hàm chứa căn thức

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}$

A. $\displaystyle\frac{2}{9} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$

B. $\displaystyle\frac{3}{2} x \sqrt{x}+\frac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$

C. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$

D. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{4}{3} x \sqrt[3]{x}+C$

Giải:

$\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int\left(\frac{\sqrt{x}}{3}+\sqrt[3]{x}\right) d x$

$\displaystyle=\frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x+\int \sqrt[3]{x} d x$

$\displaystyle=\frac{1}{3} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C$

$\displaystyle=\frac{2}{9} x \sqrt{x}+\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C$

⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Tìm $\displaystyle\int\left(\sqrt[4]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$

A. $\displaystyle\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[5]{x}+\frac{1}{8} \sqrt{x}+C$

B. $\displaystyle\frac{5}{4} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$

C. $\displaystyle\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$

D. $\displaystyle\frac{4}{5} \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x}+C$

Giải:

$\displaystyle\int\left(\sqrt[4]{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\right) d x$

$\displaystyle=\int x^{\frac{1}{4}} d x+4 \int x^{\frac{-1}{2}} d x$

$\displaystyle=\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}+4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$

$\displaystyle=\frac{4}{5} x \cdot \sqrt[4]{x}+8 \sqrt{x}+C$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tìm $\displaystyle\int \frac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$

A. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$

B. $\displaystyle\frac{2}{3} x \sqrt{x}+2 x^{2}+2 \sqrt{x}+C$

C. $\displaystyle\frac{3}{2} x \sqrt{x}+x^{2}+4 \sqrt{x}+C$

D. Đáp án khác

Giải:

$\displaystyle\int \frac{x+x \sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} d x$

$\displaystyle=\int\left(\sqrt{x}+x+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x$

$\displaystyle=\int x^{\frac{1}{2}} d x+\int x d x+2 \int x^{\frac{-1}{2}} d x$

$\displaystyle=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{2}}{2}+2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$

$\displaystyle=\frac{2}{3} x \sqrt{x}+\frac{x^{2}}{2}+4 \sqrt{x}+C$

⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4. Nguyên hàm của hàm số: $y=\frac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}$

A. $2 \sqrt{x}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$

B. $\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$

C. $2 \sqrt{x}-6 \sqrt[6]{x}+C$

D. $4 \sqrt{x}+\frac{1}{6 \sqrt[6]{x}}+C$

Giải:

Ta có:

$\displaystyle\int \frac{x^{2}+\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}} d x$

$\displaystyle=\int\left(\frac{x^{2}}{x \sqrt{x}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{x \sqrt{x}}\right) d x$

$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[6]{x^{7}}}\right) d x$

$\displaystyle=\int x^{\frac{-1}{2}} d x+\int x^{\frac{-7}{6}} d x$

$\displaystyle=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{x^{\frac{-1}{6}}}{\frac{-1}{6}}+C=2 \sqrt{x}-\frac{6}{\sqrt[6]{x}}+C$

⇒ Chọn đáp án A.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *