Cách tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em cách tính nguyên hàm của một hàm số lượng giác thông qua các ví dụ có lời giải.

Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Công thức áp dụng:

$\displaystyle\int \sin a x \cdot d x=-\frac{\cos a \cdot x}{a}+C$

$\displaystyle\int \cos a x \cdot d x=\frac{\sin a \cdot x}{a}+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C$

Ngoài ra, ta cần sử dụng các tính chất của nguyên hàm; các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc…

Ví dụ tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4cos4x$ là

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {\text{ A}\text{. }\sin 4x+C} & {\text{ B}\text{. }-\frac{1}{4}\sin 4x+C} & {\text{ C}\text{. }-4\sin 4x+C} & {\text{ D}\text{. }-\sin 4x+C} \end{array}$

Giải:

$\displaystyle\int f(x) d x=\int 4 \cos 4 \mathrm{x}=4 \int \cos 4 x=4 \cdot \frac{1}{4} \sin 4 x+C=\sin 4 x+C$

⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Tính $\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x,$ kết quả là:

A. $\displaystyle x-\frac{\sin 2 x}{2}+C$

B. $\displaystyle 2 x+\frac{\sin 2 x}{4}+C$

C. $\displaystyle\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$

D. Kết quả khác

Giải:

Ta có:
$\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x=\int \frac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\int \frac{1}{2} d x-\int \frac{\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3. Tính $\displaystyle\int(\cos 6 x-\cos 4 x) \mathrm{d} x$, kết quả là:

A. $-\frac{1}{6} \sin 6 x+\frac{1}{4} \sin 4 x+C$

B. $6 \sin 6 x-5 \sin 4 x+C$.

C. $\displaystyle\frac{1}{6}\sin 6x-\frac{1}{4}\sin 4x+C$

D. $-6 \sin 6 x+\sin 4 x+C$

Giải:

$\displaystyle\int(\cos 6 x-\cos 4 x) d x$

$\displaystyle=\int \cos 6 x d x-\int \cos 4 x d x$

$\displaystyle=\frac{1}{6} \sin 6 x-\frac{1}{4} \sin 4 x+C$

⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx . cosx là:

A. $\displaystyle-\frac{1}{2} \cos 2 x+C$

B. $\displaystyle-\cos x \cdot \sin x+C$

C. $\displaystyle\cos 2 x+\sin 2 x+C$

D. $\displaystyle-\frac{1}{4} \cos 2 x+C$

Giải:

$I=\int \sin x \cdot \cos x \mathrm{d} x=\int \frac{\sin 2 x}{2} d x$

$\displaystyle=\frac{1}{2} \cdot \frac{-\cos 2 x}{2}+C$

$\displaystyle=\frac{-1}{4} \cos 2 x+C$

⇒ Chọn đáp án D.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số f(x)= cos5x. cosx là:

A. $\displaystyle\cos 6 x$

B. $\displaystyle\sin 6 x$.

C. $\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6} \sin 6 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right) \cdot$

D. $\displaystyle-\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 6 x}{6}+\frac{\sin 4 x}{4}\right)$

Giải:

$\displaystyle I=\int \cos 5 x \cdot \cos x \mathrm{d} x$

$\displaystyle=\int \frac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 4 x) \mathrm{d} x$

$\displaystyle=\frac{1}{2} \int \cos 6 x \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int \cos 4 x \mathrm{d} x$

$\displaystyle=\frac{1}{12} \sin 6 x+\frac{1}{8} \sin 4 x+C$

⇒ Chọn đáp án C.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *