Câu đố mẹo về đo lường

Câu đố mẹo về đo lường: Làm cách nào để có thể đong ra được 1 lít nước bằng cách dùng hai bình thể tích 3 lít và 5 lít.

Chúng ta hãy cùng tìm hiểu câu đố này.

Chúng ta sẽ phân tích xem sau mỗi lần đong qua đong lại thì lượng nước chứa trong hai bình thay đổi như thế nào.

Giả sử bình 3 lít đang chứa a lít nước, còn bình 5 lít đang chứa b lít nước, chúng ta có 8 trường hợp cho bước tiếp theo như sau:

– Trường hợp 1:

Câu đố mẹo về đo lường

đổ hết nước ở bình 3 lít ra ngoài, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(0,b)

– Trường hợp 2:

Câu đố mẹo về đo lường

đổ hết nước ở bình 5 lít ra ngoài, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(a,0)

– Trường hợp 3:

Câu đố mẹo về đo lường

đổ nước vào cho đầy bình 3 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(3,b)

– Trường hợp 4:

Câu đố mẹo về đo lường

đổ nước vào cho đầy bình 5 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(a,5)

– Trường hợp 5: a + b ≤ 5

Câu đố mẹo về đo lường

đổ hết nước ở bình 3 lít qua bình 5 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(0,a+b)

– Trường hợp 6: a + b ≤ 3

Câu đố mẹo về đo lường

đổ hết nước ở bình 5 lít qua bình 3 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(a b,0)

– Trường hợp 7: a + b ≥ 5

Câu đố mẹo về đo lường

đổ nước ở bình 3 lít qua cho đầy bình 5 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành

(a,b)→(a+b−5,5)

– Trường hợp 8: a + b ≥ 3

Câu đố mẹo về đo lường

đổ nước ở bình 5 lít qua cho đầy bình 3 lít, khi đó lượng nước trong hai bình trở thành
(a,b)→(3,a+b−3)

Tóm lại, hình vẽ sau đây miêu tả các trường hợp khi chúng ta dùng hai bình thể tích 3 lít và 5 lít đong qua đong lại

Câu đố mẹo về đo lường

Như vậy lượng nước (a,b) trong hai bình sẽ khởi đầu với giá trị (0,0) và sau mỗi bước đong qua đong lại thì giá trị của (a,b) sẽ thay đổi thành một trong 8 giá trị sau

(0,b),  (a,0),  (3,b),  (a,5),
(0,a+b),  (a+b,0),  (a+b−5,5),  (3,a+b−3).

Vì lượng nước chỉ thay đổi theo phép cộng trừ liên quan đến hai số 3 và 5 nên chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau đây

Lượng nước trong hai bình luôn luôn là một số có dạng 3x + 5y trong đó x và y là hai số nguyên.

Như vậy, đây thật chất là một bài toán số học. Để giải bài toán này, chúng ta phải giải phương trình nghiệm nguyên

3x + 5y=1.

Phương trình này có vô số nghiệm, và như vậy câu đố trên sẽ có vô số các đáp án khác nhau.

Đáp án 1: Chúng ta thấy chẳng hạn x=2, y=−1 là một nghiệm của phương trình

3×2−5×1=1.

Vậy, để đong ra được 1 lít, chúng ta cần đong đầy bình 3 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 5 lít một lần.

Đáp án của câu đố là như sau

3×2−5×1=1: Đong đầy bình 3 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 5 lít một lần, ta được 1 lít.

Đáp án 2: Một nghiệm khác của phương trình là x=−3, y=2

5×2−3×3=1.

Vậy, cách thứ hai để đong ra được 1 lít là chúng ta sẽ đong đầy bình 5 lít hai lần rồi đổ qua làm đầy bình 3 lít ba lần.

Đáp án thứ hai của câu đố là như sau

5×2−3×3=1: Đong đầy bình 5 lít hai lần và đổ qua làm đầy bình 3 lít ba lần, ta được 1 lít.

Như vậy, chúng ta vừa thấy rằng câu đố về đo lường có liên quan mật thiết đến việc giải phương trình nghiệm nguyên 3x 5y=1.

Chúng ta tạm dừng ở đây và trong kỳ tới chúng ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa câu đố về đo lường với bài toán dựng hình đa giác đều. Hẹn gặp lại các bạn.

Bài tập về nhà.

1. Dùng quy nạp, chứng minh rằng lượng nước trong hai bình luôn luôn là một số có dạng 3x +5y.

2. Dùng hai bình thể tích 5 lít và 7 lít, hãy tìm cách đong ra được 1 lít nước.

3. Dùng hai bình thể tích 5 lít và 7 lít, hãy tìm cách đong ra được 3 lít nước.

4. Dùng hai bình thể tích 6 lít và 8 lít, hãy tìm cách đong ra được 3 lít nước.

5. Vào trang google.com để tìm hiểu thêm về phương trình nghiệm nguyên..

(Theo Vuontoanblog)

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội