Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Bằng các phép biến đổi tương đương chúng ta biến đổi bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh về bất đẳng thức đúng (đã được thừa nhận).

* Cấu trúc của phương pháp:
Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:
A > B  ⇔ …..⇔ C > D
Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận).
Từ đó đi đến kết luận.
Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:
Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2
Giải
Giả sử: \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2  (1)
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab    (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)
⇔ a2 + b2 –  2ab ≥ 0
⇔ (a – b)2 ≥ 0   (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 (với a và b cùng dấu)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 2:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1.
Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab \ge \frac{1}{2}
Giải:
Giả sử   a3 + b3 + ab ≥ \frac{1}{2}       (1)
⇔ a3 + b3 + ab – \frac{1}{2} ≥ 0
⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) + ab – \frac{1}{2} ≥ 0
⇔ a2 + b2\frac{1}{2} ≥ 0              (vì a + b = 1)
⇔ 2a2 + 2 b2 – 1 ≥ 0
⇔ 2a2 + 2(1 – a)2 – 1 ≥ 0         (vì b = 1- a)
⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0
⇔ (2a – 1)2 ≥ 0       (2)
Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy a3 + b3 + ab ≥ \frac{1}{2}        (với a + b = 1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = \frac{1}{2}
Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}
Giải
Giả sử:  \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}  (1)
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}
\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab  (vì a > 0 và b > 0)
⇔ a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
⇔ (a – b)2 ≥ 0                 (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy: \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b} (với a > 0, b > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương-1

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội