Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội, làm giảm

Bằng phương pháp làm trội, làm giảm chúng ta có thể chứng minh được một số dạng bài tập bất đẳng thức. Các em xem ví dụ dưới đây để rõ về phương pháp này.

Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2
Giải
Ta có : \displaystyle \frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b} ; \displaystyle \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}  ; \displaystyle \frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}
Suy ra: \displaystyle \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}
⇔ \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}
Ta lại có: \displaystyle \frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} (điều này dễ chứng minh được)
Tương tự:
\displaystyle \frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c} ;
\displaystyle \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}
Suy ra: \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c} = 2
⇔ \displaystyle \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2
Vậy: \displaystyle 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:
\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1
Giải
Ta có : \displaystyle \frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}
Nên:
\displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2} ;
\displaystyle \frac{1}{{{3}^{2}}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}
……..
\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}
Suy ra: \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1-\frac{1}{n} <1
Vậy: \displaystyle \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội