Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)
– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\displaystyle b+\frac{1}{c}<2  ; \displaystyle c+\frac{1}{a}<2
Giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT:
\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\displaystyle b+\frac{1}{c}<2  ; \displaystyle c+\frac{1}{a}<2
Suy ra : \displaystyle a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6 ⇔ \displaystyle \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6      (*)
Mà: \displaystyle a+\frac{1}{a}\ge 2 (a > 0) ;  \displaystyle b+\frac{1}{b}\ge 2 (b > 0)   ; \displaystyle c+\frac{1}{c}\ge 2 (c > 0)
\displaystyle \Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6
Do đó (*) vô lý.
Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
\displaystyle a+\frac{1}{b}<2\displaystyle b+\frac{1}{c}<2  ; \displaystyle c+\frac{1}{a}<2

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội