Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

1. Kiến thức cần nhớ

a. Nội dung phương pháp

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức . Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.

         Các bước suy luận phản chứng

Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).

Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết.

Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh.

          Chú ý: Trong các bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan trọng vì cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh thực sự chính xác.

b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức

+ Dùng mệnh đề đảo.

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.

+ Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau.

+ Phủ định rồi suy ra kết luận.

c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ.

{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)=\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}}{2}\ge 0

{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}\ge 0

{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0

2. Một số ví dụ minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội