Chuyên đề: Phương trình trùng phương

Bài viết này nói về Chuyên đề phương trình trùng phương, một dạng phương trình thường xuất hiện trong các đề thi Toán tuyển sinh vào 10.

Các em cùng Timgiasuhanoi.com học chuyên đề này nhé.

I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Cho phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)   (1)
Đặt t = x2  (t ≠ 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)

  • Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P>0\\S>0\end{array} \right.
  • Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 ⇔ \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\P=0\\S>0\end{array} \right.
  • Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu ⇔ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S>0\end{array} \right.\\P<0\end{array} \right.
  • Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm ⇔ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\S=0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}P=0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.
  • Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm ⇔ \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\Delta <0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\end{array} \right.
  • Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng \displaystyle \frac{c}{a}.

II. MỘT SỐ BÀI MẪU

Bài 1: Giải phương trình: \displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0 (1)
Giải:
Cách 1: Đặt t = x2 ⇒ t ≥ 0 phương trình (1) có dạng :
t2-13t +36 = 0 Ta có
\displaystyle \Delta ={{(-13)}^{2}}-4.36=25\Rightarrow \sqrt{\Delta }=5
⇒ \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{-(-13)+5}{2}=9\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{-(-13)-5}{2}=4
• Với t1 = 9 ⇔ x2 = 9 ⇒ \displaystyle x=\pm \sqrt{9}=\pm 3
• Với t2 = 4 ⇔ x2 =4 ⇒ \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3.
Cách 2:
\displaystyle {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0
\displaystyle \begin{array}{l}\Leftrightarrow ({{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+36)-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-6)}^{2}}-{{x}^{2}}=0\\\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-6-x)({{x}^{2}}-6+x)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-6-x=0\\{{x}^{2}}-6+x=0\end{array} \right.\end{array}
Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x=-2; x= 3.
Giải phương trình :  x2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm x= 2; x= -3.
Vậy phương  trình (1) có 4 nghiệm : x1=-3; x2= -2; x3=2; x4 = 3.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các phương trình sau:
1) \displaystyle {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+4=0
2) \displaystyle {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+3=0
3) \displaystyle 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0
4) \displaystyle {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}+6=0
5) \displaystyle 2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2=0

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội