Dạng toán chia đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)
Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) nếu như số dư bằng 0. Các em hãy xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về dạng toán này.
Trước tiên xin nhắc lại về phép chia có dư:
A : B = C dư D.
- Nếu D = 0 thì A chia hết cho B.
- Nếu D ≠ 0 thì A không chia hết cho B.
Bài 1: Tìm a để đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)
f(x) = x4 – x3 + 6x2 – x + a ; g(x) = x2 – x + 5
thực hiện phép chia, ta có :
(x4 – x3 + 6x2 – x + a) : (x2 – x + 5) = (x2 + 1) dư (a – 5)
để đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi : a – 5 = 0
<=> a = 5
vậy : a = 5
Bài 2: Chứng minh rằng :
a) a(2a – 3) – 2a(a + 1) chia hết cho 5 với a thuộc Z .
b) a2(a + 1) + 2a(a + 1) chia hết cho 6 với a thuộc Z .
Giải.
a) A = a(2a – 3) – 2a(a + 1) = 2a2 – 3a – 2a2 – 2a = -5a = 5.(-a)
vậy : A chia hết cho 5 với a thuộc Z .
b) B = a2(a + 1) + 2a(a + 1) = (a2 + 2a)(a + 1) = a(a + 2)(a + 1) = a(a + 1)(a + 2)
ta có : a(a + 1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => B chia hết cho 2.
a(a + 1)(a + 2) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 => B chia hết cho 3.
suy ra : B chia hết cho 3 và 2.
vậy : B chia hết cho 6.