Đề thi chọn đội tuyển HSG cấp trường THPT chuyên Lam Sơn 2017-2018

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường THPT chuyên Lam Sơn , Thanh Hóa năm học 2017-2018. Môn Toán. Thời gian làm bài: 180 phút.

Bài 1: Cho dãy số: a0,a1,a2,… thoả mãn:, với mọi số nguyên không âm m và n với m⩾n. Nếu a1=1, hãy xác định: a2017.
Bài 2: Tìm tất cả các hàm số f: R→R thoả mãn:
f(n2)=f(n+m).f(n−m)+m2, với mọi n và m là các số thực
Bài 3: Tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và P là điểm di động bên trong tam giác sao cho \displaystyle \widehat{{BPC}}=\widehat{{BHC}}. Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định
Bài 4: Tìm tất cả các đa thức P(x) có các hệ số nguyên thoả mãn P(2017)=1, 3n−1 chia hết cho P(n) với mọi số nguyên dương n
Bài 5: Chứng minh rằng: \displaystyle \sum\limits_{{k=0}}^{n}{{{{2}^{k}}}}C_{n}^{k}C_{{n-k}}^{{\left[ {\frac{{n-k}}{2}} \right]}}=C_{{2n+1}}^{n}

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội