Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán tỉnh Ninh Bình 2018-2019

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán tỉnh Ninh Bình năm học 2018-2019.

Ngày 1 (11/09/2018) Thời gian: 180 phút

Đề bài:

Câu 1: Giải hệ phương trình: \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-2)=2ln\frac{{y+\sqrt{{{{y}^{2}}+1}}}}{{x+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}} \\ {{{3}^{x}}.2x={{3}^{y}}+2y+1} \end{array}} \right.

Câu 2: Xét sự hội tụ của dãy số (xn) biết \displaystyle {{x}_{0}}=2,{{x}_{{n+1}}}=\frac{2}{{{{x}_{n}}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{x_{n}^{2}}}

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)).

a) Chứng minh rằng ba điểm A,E,F thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng bốn điểm B,C,O,E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4: Bạn Thanh viết lên bảng các số 1,2,3,…,2019. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số a và b bất kì trên bảng và viết thêm số \displaystyle \frac{{ab}}{{a+b+1}}. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số \displaystyle \frac{1}{{2019}}.

Ngày 2 (12/09/2018) Thời gian 180 phút

Đề bài:

Câu 1: Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P(a)=1, P(b)=2, P(c)=3. Chứng minh rằng: a+c=2b.

Câu 2: Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức: \displaystyle (\sum{a})(\sum{{\frac{1}{a}}})+4\sqrt{2}.\frac{{\sum{a}b}}{{\sum{{{{a}^{2}}}}}}\ge 9+4\sqrt{2}

Câu 3: Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T. Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Các đường thẳng TE, TF lần lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N ( M, N khác T).

a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng.

b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng CN tại Q. Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau.

Câu 4: Với số n nguyên dương đặt f(n) là số ước nguyên dương của n. Xét tập hợp \displaystyle G=\left\{ {n\in {{\mathbb{N}}^{*}}:f(m)<f(n),\forall m\in \mathbb{N},0<m<n} \right\} và gọi pi là số nguyên tố thứ i \displaystyle (i\in {{\mathbb{N}}^{*}}).

a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và pm là ước nguyên tố của n thì (p1p2…pm) là ước của n.

b) Với số nguyên tố pm, gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k>pm\displaystyle M={{({{p}_{1}}{{p}_{2}}...{{p}_{{m-1}}})}^{{2k}}}. Chứng minh rằng: Nếu n>M và n thuộc G thì n chia hết cho pm.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội