Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán tỉnh Thanh Hóa 2017-2018

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018.

Bài 1. Cho dãy số: \displaystyle {{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},... thỏa mãn: \displaystyle {{a}_{{m+n}}}+{{a}_{{m-n}}}=\frac{1}{2}\left( {{{a}_{{2m}}}+{{a}_{{2n}}}} \right), với mọi số nguyên không âm m, n và m ≥ n. Nếu \displaystyle {{a}_{1}}=1, hãy xác định: \displaystyle {{a}_{2017}}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn: \displaystyle f({{n}^{2}})=f(n+m).f(n-m)+{{m}^{2}},\forall m,n\in \mathbb{R}.

Bài 3. Tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và P là điểm di động bên trong tam giác sao cho \displaystyle \widehat{{BPC}}=\widehat{{BHC}}. Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt PC tại M, đường thẳng qua C và vuông góc với AC cắt PB tại N. Chứng minh rằng: trung điểm I của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 4. Tìm tất cả các đa thức P(x) có các hệ số nguyên thỏa mãn \displaystyle P(2017)={{1,3}^{n}}-1 chia hết cho P(n) với mọi số nguyên dương n.

Bài 5. Chứng minh rằng: \displaystyle \sum\limits_{{k=0}}^{n}{{{{2}^{k}}}}C_{n}^{k}C_{{n-k}}^{{\left[ {\frac{{n-k}}{2}} \right]}}=C_{{2n+1}}^{n}.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội