Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia tỉnh Phú Thọ 2018-2019

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán tỉnh Phú Thọ năm học 2018-2019.

Bài 1: Cho dãy số thực \displaystyle {{({{a}_{n}})}_{{n\ge 1}}} xác định bởi: \displaystyle {{a}_{1}}={{a}_{2}}=1,{{a}_{3}}=2;{{a}_{{n+3}}}=\frac{{{{a}_{{n+1}}}{{a}_{{n+2}}}+7}}{{{{a}_{n}}}} với mọi số nguyên dương n.

a) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi số nguyên dương n.

b) Tìm giới hạn: \displaystyle \underset{{n\to +\infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{a}_{{2n+2}}}{{a}_{{2n}}}+a_{{2n+1}}^{2}}}{{{{a}_{{2n}}}{{a}_{{2n+1}}}}}.

Bài 2: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại các điểm D,E,F. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AD,CF với (I). Chứng minh rằng: \displaystyle \frac{{MN.FD}}{{MF.ND}}=3.

Bài 3:
Tìm tất cả các hàm số \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn:
\displaystyle f(f(x)-{{y}^{2}})=f({{x}^{2}})+{{y}^{2}}f(y)-2f(xy)\forall x,y\in \mathbb{R}.

Bài 4: Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm \displaystyle {{2018}^{2}} ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1,0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điển số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1,a2,…,a2018 ở hàng thứ nhất, b1,b2,…,b2018 ở hàng thứ hai sao cho S=a1b1+a2b2+…+a2018b2018 là một số chẵn.

Bài 5: Chứng minh rằng:

a) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số.

b) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.

Bài 6: Cho dãy số thực \displaystyle {{({{x}_{n}})}_{{n\ge 0}}} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) xn=0 khi và chỉ khi n=0.

b) \displaystyle {{x}_{{n+1}}}=x_{{[\frac{{n+3}}{2}]}}^{2}+{{(-1)}^{n}}.x_{{[\frac{n}{2}]}}^{2} với mọi n ≥ 0.
(Kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, nếu xn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố hoặc n không có ước nguyên tố lẻ.

Bài 7: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB,CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E,F. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE,CDF; hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoan thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N.

a) Chứng minh : BIJC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba đường thẳng IM,JN,PQ đồng quy.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội