Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Bến Tre 2018-2019

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán tỉnh Bến Tre năm học 2018-2019. Thời gian: 180 phút (không kể phát đề).

Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình \displaystyle 4{{x}^{2}}-4tx-1=0\,\,(t\in \mathbb{R}) và [α;β] là tập xác định của hàm số \displaystyle f(x)=\frac{{2x-t}}{{{{x}^{2}}+1}}.

a) Đặt \displaystyle g(t)=\max f(x)-\min f(x). Tìm g(t) theo t.

h) Chứng minh rằng: Với \displaystyle {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}\in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right), nếu \displaystyle \sin {{u}_{1}}+\sin {{u}_{2}}+\sin {{u}_{3}}=1 thì:

\displaystyle \frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{1}}} \right)}}+\frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{2}}} \right)}}+\frac{1}{{g\left( {\tan {{u}_{3}}} \right)}}<\frac{{3\sqrt{6}}}{4}

Câu 2 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có \displaystyle \hat{A}={{60}^{{}^\circ }}, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lươt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của \displaystyle \frac{{MH+NH}}{{OH}}.

Câu 3 (5 điểm)

Dịp hè năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tô chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mồi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại.

Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thây rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.

a) Khi n = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.

b) Chứng minh rằng n là số lẻ.

Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cá các hàm \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(1) Với mọi \displaystyle x,y\in \mathbb{R}:2f(x)-g(x)=f(y)-y;

(2) Với mọi \displaystyle x\in \mathbb{R}:f(x)\cdot g(x)\ge x+1.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội