Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 số 1 hay (có đáp án)

Thời gian làm bài 120 phút.

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức \displaystyle A=\frac{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-1}{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+2a+1}

a, Rút gọn biểu thức

b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.

Câu 2: (1 điểm)

Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số \displaystyle \overline{abc} sao cho \displaystyle \overline{abc}={{n}^{2}}-1 và \displaystyle \overline{cba}={{(n-2)}^{2}}

Câu 3: (2 điểm)

a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương

b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.

Câu 4: (2 điểm)

a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh \displaystyle \frac{a+n}{b+n} và \displaystyle \frac{a}{b}

b. Cho A = \displaystyle \frac{{{10}^{11}}-1}{{{10}^{12}}-1}; B = \displaystyle \frac{{{10}^{10}}+1}{{{10}^{11}}+1}. So sánh A và B.

Câu 5: (2 điểm)

Cho 10 số tự nhiên bất kỳ :     a1, a2, ….., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số  hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.

Câu 6: (1 điểm)

Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

Đáp án Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 số 1:

Câu 1:

Ta có: \displaystyle A=\frac{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-1}{{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+2a+1} = \displaystyle \frac{(a+1)({{a}^{2}}+a-1)}{(a+1)({{a}^{2}}+a+1)}=\frac{{{a}^{2}}+a-1}{{{a}^{2}}+a+1}

Điều kiện đúng a ≠  -1   ( 0,25 điểm).

Rút gọn đúng cho  0,75 điểm.

b.Gọi d là ước chung lớn nhất của  a2 + a – 1 và a2+a +1               (0,25đ).

Vì a2 + a – 1 =  a(a+1) – 1   là số lẻ nên d là số lẻ

Mặt khác, 2 =  [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] \displaystyle \vdots d

Nên d = 1 tức là a2 + a + 1  và a2 + a – 1   nguyên tố cùng nhau.     (0,5đ)

Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)

Câu 2:

\displaystyle \overline{abc} =  100a + 10 b + c = n2 – 1                      (1)

\displaystyle \overline{cba} =  100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4    (2)                          (0,25đ)

Từ (1) và (2) ⇒ 99(a – c) = 4 n – 5 ⇒ 4n – 5 \displaystyle \vdots 99 (3)     (0,25đ)

Mặt khác:  100 ≤ n2-1 ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 119 (4)   ( 0,25đ)

Từ (3) và (4) ⇒ 4n – 5  =  99 ⇒ n = 26

Vậy: \displaystyle \overline{abc} = 675   ( 0,25đ)

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a ∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006 ⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).

+ Thấy : Nếu a, n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*)  ( 0,25 điểm).

+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*)  (0,25 điểm).

Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).

b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6 số 1 hay (có đáp án)-1

Câu 5: Lập dãy số .

Đặt

B1 = a1.

B2 = a1  + a2 .

B3 = a1 + a2 + a3

……………………………..

B10 = a1 + a2 + … + a10 .

Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3…10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh.   ( 0,25 điểm).

Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau:

Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3…9}). Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số  Bm -Bn,  chia hết cho 10 ( m>n) ⇒ ĐPCM.

Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng ⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ⇒ số giao điểm thực tế là:

(2005x 2006):2 = 1003 x 2005 = 2011015 giao điểm.

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội