Đề thi HSG môn Toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013

Bài 1:
a) Tính giá trị biểu thức: \displaystyle M={{(x-y)}^{3}}+3(x-y)(xy+1) , biết
\displaystyle x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}
b) Giải phương trình: \displaystyle \frac{2x}{{{x}^{2}}-x+1}-\frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}=\frac{5}{3}
Bài 2:
a) Giải hệ phương trình: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+3=4x\text{ (1)}\\{{x}^{3}}+12x+{{y}^{3}}=6{{x}^{2}}\text{+9 (2)}\end{array} \right.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
\displaystyle P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}
Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:
\displaystyle \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy  M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự  là hình chiếu vuông góc  của  M  xuống  các  cạnh AB, AC và H  là  hình chiếu vuông  góc  của N xuống đường thẳng PD.
a. Chứng minh AH vuông góc với BH
b. Đường thẳng qua  B song  song  với  AD cắt  đường trung trực của AB tại I
Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.
Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
\displaystyle F=\frac{{{x}^{4}}}{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(x+y)}+\frac{{{y}^{4}}}{({{y}^{2}}+{{z}^{2}})(y+z)}+\frac{{{z}^{4}}}{({{z}^{2}}+{{x}^{2}})(z+x)}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội