Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên Bắc Ninh năm 2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014.

Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} với x\ge 0,\,\,x\ne \,1.
b) Cho x=\frac{\left( \sqrt{3}-1 \right).\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}}{\sqrt{21+4\sqrt{5}}+3}, tính giá trị của biểu thức P={{\left( {{x}^{2}}+4x-2 \right)}^{2013}}.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình: 2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0 (1), với x là ẩn, m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là {{x}_{1}},{{x}_{2}}.. Tìm m để \displaystyle 2{{x}_{1}}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0.
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn x-y={{x}^{3}}+{{y}^{3}}. Chứng minh rằng {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1.
b) Giải hệ phương trình: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x={{y}^{2}}+1\\2y={{z}^{2}}+1\\2z={{x}^{2}}+1\end{array} \right..
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AHBC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) HA.HF={{R}^{2}}-O{{H}^{2}}.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương \left( x;y;z \right) thỏa mãn \frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}} là số hữu tỷ, đồng thời {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} là số nguyên tố.
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội