Đề thi vào 10 môn Toán THPT chuyên tỉnh Nam Định 2019-2020

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên, Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2019-2020. Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. 

a) Cho $x=\sqrt{3+\sqrt{5+2 \sqrt{3}}}+\sqrt{3-\sqrt{5+2 \sqrt{3}}} .$ Tính giá trị của biểu thức $P=x(2-x)$
b) Cho ba số $a, b, c$ thỏa mãn $a b+b c+c a=2019 .$ Chứng minh:

$\displaystyle \frac{{{{a}^{2}}-bc}}{{{{a}^{2}}+2019}}+\frac{{{{b}^{2}}-ca}}{{{{b}^{2}}+2019}}+\frac{{{{c}^{2}}-ab}}{{{{c}^{2}}+2019}}=0$

Câu 2. Giải phương trình, hệ phương trình sau:

a) $x^{3}+\sqrt{(x+1)^{3}}=9 x+8$

b) $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{{{{y}^{2}}}}=3+{{x}^{2}}{{y}^{2}}} \\ {\frac{1}{{{{x}^{3}}}}+\frac{1}{{{{y}^{3}}}}+3={{x}^{3}}{{y}^{3}}} \end{array}} \right.$

Câu 3. Cho tam giác nhọn $ABC (A B<A C)$ nội tiếp đường tròn O. Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của BAC cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E (cùng khác A). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC, Gọi M và N tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng BC và BA. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng GM , H là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MG, F là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng AE

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AD và GM song song

b) Chứng minh FH = MC

c) Chứng minh : $\displaystyle KE+KN\le \sqrt{2}.EN$

Câu 4.
a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì $ \displaystyle \frac{{{{n}^{5}}+29n}}{{30}}$ cũng là số nguyên

b) Tim tất cả các căp số tự nhiên ( $x ; y$ ) sao cho $2\left(x^{2}+y^{2}-3 x+2 y\right)-1$ và $5\left(x^{2}+y^{2}+4 x+2 y+3\right)$ đều là số chính phương.

Câu 5.
a) Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $\left(a^{4}+b^{4}\right)\left(b^{4}+c^{4}\right)\left(c^{4}+a^{4}\right)=8 .$ Chứng minh rằng
$\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right) \geq 1$

b) Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy. Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *