Lịch sử ma trận và định thức

Lịch sử hình thành ma trận và định thức có từ thế kỷ thứ 2 trước Công Nguyên, mặc dù những “vết tích” được tìm thấy vào thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Đến gần cuối thế kỷ 17, ý tưởng về ma trận và định thức xuất hiện trở lại và bắt đầu phát triển.

Không mấy ngạc nhiên khi ma trận và định thức hình thành qua việc nghiên cứu của hệ phương trình tuyến tính. Những người Babylon đã nghiên cứu một số vấn đề, từ đó dẫn đến những phương trình tuyến tính tương ứng. Một vài vấn đề được bảo tồn trong bảng đất sét vẫn còn tồn tại. Ví dụ, một bảng tính có niên đại từ khoảng năm 300 trước Công nguyên chứa những vấn đề sau:

“Có hai cánh đồng có tổng diện tích là 1800 yard vuông. Một cánh đồng sản xuất ngũ cốc với tốc độ \displaystyle \frac{2}{3} giạ trên một yard vuông trong khi đó cánh đồng còn lại sản xuất ngũ cốc với tốc độ \displaystyle \frac{1}{2} giạ trên một yard vuông. Nếu tổng năng suất là 1100 giạ, hỏi kích thước của mỗi cánh đồng là bao nhiêu?”

Người Trung Quốc tiếp cận gần với ma trận hơn người Babylon vào giữa năm 300 trước Công nguyên và năm 100 trước Công nguyên. Thật công bằng khi nói bài viết “Nine Chapters on the Mathematical Art” (tạm dịch: 9 chương trong cuốn nghệ thuật Toán học, xem tại http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Nine_chapters.html) được viết trong suốt triều đại nhà Hán đã đưa ra ví dụ đầu tiên về phương pháp ma trận. Đầu tiên một vấn đề được thiết lập tương tự như ví dụ của người Babylon đưa ra bên trên:

“Có 3 loại bắp, trong đó loại thứ nhất có 3 bó, loại thứ hai có 2 bó, và loại thứ ba có 1 bó, tạo ra 39 trái bắp. 2 bó của loại thứ nhất, 3 bó của loại thứ hai và 1 bó của loại thứ ba tao ra 34 trái bắp. Và 1 bó của loại thứ nhất, 2 bó của loại thứ hai và 3 bó của loại thứ ba tao ra 26 trái bắp. Có bao nhiêu trái bắp chứa trong mỗi bó của mỗi loại?”

Bây giờ tác giả làm một vài việc khá đáng kể. Ông ấy thiết lập các hệ số của hệ ba phương trình tuyến tính trong hệ phương trình ba ẩn thành một cái bảng trên bảng tính.

\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ {26} & {34} & {39} \end{array}

Những phương pháp cuối thế kỷ 20 sẽ cho chúng ta viết phương trình tuyến tính theo hàng của ma trận chứ không phải cột nhưng dĩ nhiên các phương pháp giải là đồng nhất. Đáng chú ý nhất các tác giả, viết vào năm 200 trước Công nguyên, là hướng dẫn người đọc nhân cột giữa với 3 và trừ cột bên phải nhiều lần nhất có thể. Tương tự, nhân 3 vào cột đầu , sau đó thực hiện phép trừ với cột bên phải nhiều lần nhất có thể. Điều này dẫn đến:

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} 0 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \\ {39} & {24} & {39} \end{array}

Tiếp theo cột bên trái nhất nhân với 5 và sau đó cột giữa trừ đi nhiều lần nhất có thể. Điều này dẫn đến:

\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ {36} & 1 & 1 \\ {99} & {24} & {39} \end{array}

Từ đó có thể tìm ra lời giải cho loại bắp thứ ba, sau đó thay thế trở lại, ta sẽ tìm ra lời giải cho loại thứ hai, thứ nhất. Phương pháp này bây giờ được biết với tên “Phương pháp khử Gauss” được hình thành vào đầu thế kỷ 19.

Cardan đưa ra một quy tắc trong cuốn Ars Magna (1545) cho việc giải một hệ hai phương trình tuyến tính. Ông ta gọi phương pháp ấy là “regula de modo” hay “Quy tắc mẫu!” Quy tắc này về cơ bản là quy tắc Cramer cho việc giải hệ 2×2 mặc dù Cardan không làm bước cuối, do đó Cardan không có khái niệm về định thức. Nhưng với lợi thế về nhận thức, chúng ta có thể nhìn thấy rằng phương pháp của ông dẫn đến định nghĩa về định thức.

Nhiều kết quả tiêu chuẩn cơ bản đầu tiên của lý thuyết ma trận xuất hiện rất lâu trước khi ma trận trở thành đối tượng nghiên cứu toán học. Ví dụ nhà Toán học de Witt xuất bản tác phẩm “Elements of curves” (tạm dịch: Những yếu tố của đường cong) như là một phần của lời chú thích trong phiên bản Latin năm 1660 của cuốn Géométrie của nhà Toán học Descartes, đã chỉ ra cách biến đổi các trục nhằm làm giảm một phương trình đã cho từ dạng conic về dạng chính tắc. Cách làm này dẫn đến khái niệm chéo hóa một ma trận đối xứng nhưng de Witt chưa bao giờ nghĩ đến khái niệm đó.

Các ý tưởng của định thức xuất hiện ở Nhật và Châu Âu gần như đồng thời mặc dù Seki ở Nhật chắc chắn đã công bố đầu tiên. Vào năm 1683 Seki đã viết “Method of solving the dissimulated problems” (tạm dịch: Phương pháp giải các vấn đề được che giấu) bao gồm các phương pháp ma trận được viết dưới dạng bảng tính giống như phương pháp của người Trung Quốc. Mặc dù Seki không nói đến chữ “định thức”, ông vẫn giới thiệu định thức và đưa ra phương pháp tổng quát để tính dựa trên những ví dụ. Việc sử dụng “định thức” theo cách của Seki, ông có thể tìm ra định thức của ma trận 2×2, 3×3, 4×4 và 5× 5 và áp dụng nó để giải các phương trình, nhưng không phải hệ phương trình tuyến tính.

Đáng chú ý hơn, ở Châu Âu, định thức xuất hiện đầu tiên vào năm 1683. Trong năm đó Leibniz đã viết cho de l’Hoopital, ông ấy giải thích rằng hệ phương trình

\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {10+11x+12y=0} \\ {20+21x+22y=0} \\ {30+31x+32y=0} \end{array}

có một cách giải bởi vì

\displaystyle \text{10}\text{.21 }\text{.32 + 11}\text{.22 }\text{.30 + 12}\text{.20 }\text{.31 = 10}\text{.22 }\text{.31 + 11}\text{.20 }\text{.32 + 12}\text{.21 }\text{.30}

Đó chính xác là điều kiện khi ma trận hệ số có định thức 0. Chú ý rằng ở đây Leibniz không sử dụng hệ số số học nhưng “Hai đặc điểm, đầu tiên xác định phương trình xảy ra ở đâu, thứ hai xác định hệ số ma trận là bao nhiêu”

Vì thế 21 là giá trị tại a21.

Leibniz đã bị thuyết phục rằng ký hiệu toán học tốt là chìa khóa để phát triển vì vậy ông ta thử nghiệm với ký hiệu khác nhau cho hệ hệ số. Bản thảo chưa công bố của ông ấy bao gồm hơn 50 cách viết hệ hệ số khác nhau. Để làm được điều ấy, ông làm việc trong một khoảng thời gian 50 năm, bắt đầu từ năm 1678. Chỉ có hai ấn phẩm (1700 và 1710) bao gồm kết quả trên hệ các hệ số và chúng sử dụng các ký hiệu giống như trong lá thư ông ta gửi cho de l’Hôpital bên trên.

Leibniz đã sử dụng từ “tổng hợp” cho tổng tổ hợp nào đó của các số hạng trong một định thức. Dựa trên những tổng hợp, ông ta đã chứng minh nhiều kết quả bao gồm quy tắc Cramer. Ông ta cũng biết rằng một định thức có thể được khai triển bằng việc sử dụng cột – bây giờ được gọi là khai triển Laplace. Việc nghiên cứu hệ số hệ phương trình dẫn ông đến định thức, Leibniz cũng nghiên cứu hệ số hệ phương trình dạng bậc hai, dẫn đến lý thuyết ma trận.

Vào năm 1730, Maclaurin đã viết “Treatise of algebra” (tạm dịch: Luận án đại số). Luận án này không được công bố cho đến năm 1748, hai năm sau khi ông qua đời. Luận án này chứa các kết quả được công bố đầu tiên khi ông sử dụng định thức chứng minh quy tắc Cramer cho hệ 2×2 và 3×3 và chỉ ra trường hợp 4×4 sẽ làm như thế nào. Cramer đưa ra quy tắc chung cho hệ n×n trong bài viết “Introduction to the analysis of algebraic curves” (tạm dịch: Giới thiệu giải tích trên đường cong đại số) vào năm 1750. Bài viết phát sinh ra một hướng đi để tìm ra phương trình của mặt phẳng cong đi qua một số điểm cho trước. Các quy tắc xuất hiện trong phụ lục của bài viết nhưng không có chứng minh:

“Người ta tìm ra giá trị của mỗi hệ phương trình dưới dạng n phân số trong đó mẫu số chung có nhiều số hạng bằng với số hoán vị của n.”

Cramer làm tiếp để giải thích một cách chính xác cách để tính những số hạng này như là một sản phẩm của hệ số nhất định trong các phương trình và cách xác định dấu. Ông ta cũng trình bày cách có thể tìm n tử số của phân số bằng cách thế các hệ số nhất định trong phép tính này bởi các hằng số trong hệ.

Sử dụng định thức bắt đầu xuất hiện thường xuyên. Vào năm 1764, Bezout đưa ra phương pháp để tính định thức giống như Vandermonde đã làm vào năm 1771. Vào năm 1772, Laplace cho rằng các phương pháp do Cramerand Bezout giới thiệu là không thực tế và trong một bài ông viết về công trình nghiên cứu quỹ đạo của các hành tinh bên trong, ông đề cập đến việc giải hệ phương trình tuyến tính không cần tính toán trực tiếp mà sử dụng định thức. Khá bất ngờ, Laplace đã sử dụng từ “tổng hợp” cho cái mà chúng ta bây giờ gọi là “định thức”, điều bất ngờ ở chỗ từ ngữ này được Leibniz sử dụng trước đó. Khi đó, Laplace chưa biết về tác phẩm của Leibniz. Laplace đã đưa ra cách khai triển định thức, cách này bây giờ được mang tên ông.

Lagrange, trong một bài báo vào năm 1773, đã nghiên cứu về đồng nhất thức cho định thức hàm số 3×3. Tuy nhiên công trình này ra đời muộn do Lagrange không thấy có sự kết nối nào giữa tác phẩm của ông và tác phẩm của Laplace và Vandermonde. Tuy nhiên, bài báo về cơ học vào năm 1773 lần đầu tiên có bài viết về những gì bây giờ chúng ta gọi là thể tích diễn dịch của định thức. Lagrange đã chỉ ra rằng tứ diện xác định bởi O(0,0,0) và ba điểm \displaystyle M(x,y,z),{{M}^{\prime }}\left( {{{x}^{\prime }},{{y}^{\prime }},{{z}^{\prime }}} \right),{{M}^{{\prime \prime }}}\left( {{{\text{x}}^{{\prime \prime }}},{{y}^{{\prime \prime }}},{{z}^{{\prime \prime }}}} \right) có thể tích

\displaystyle \frac{1}{6}\left[ {z\left( {{{x}^{\prime }}{{y}^{{\prime \prime }}}-{{y}^{\prime }}{{x}^{{\prime \prime }}}} \right)+{{z}^{\prime }}\left( {y{{x}^{{\prime \prime }}}-x{{y}^{{\prime \prime }}}} \right)+{{z}^{{\prime \prime }}}\left( {x{{y}^{\prime }}-y{{x}^{\prime }}} \right)} \right]

Thuật ngữ “định thức” được giới thiệu đầu tiên bởi Gauss vào năm 1801 trong “Disquisitiones arithmeticae” khi ông thảo luận dạng bậc hai. Ông sử dụng thuật ngữ đó bởi định thức giúp xác định các tính chất của dạng bậc hai. Tuy nhiên khái niệm ông đưa ra không giống như định thức của chúng ta đang học. Trong cùng một tác phẩm Gauss đưa ra hệ số của dạng bậc hai trong những cái bảng hình chữ nhật. Ông ta mô tả phép nhân ma trận (ông ta xem phép nhân này là phép tổng hợp, vì vậy ông ta chưa đạt đến khái niệm về ma trận đại số) và ma trận nghịch đảo trong mảng các hệ số của dạng bậc hai.

Phép khử Gauss lần đầu tiên xuất hiện trong bài “9 chương trong cuốn Nghệ thuật Toán học” được viết vào năm 200 trước Công nguyên, được Gauss sử dụng trong công trình nghiên cứu quỹ đạo tiểu hành tinh Pallas của ông. Sử dụng các quan sát của Pallas đưa ra giữa năm 1803 và năm 1809, Gauss đạt được hệ 6 phương trình tuyến tính với 6 biến. Gauss đã đưa một phương pháp có hệ thống để giải các phương trình mà ngày nay ta gọi là phép khử Gauss trên ma trận hệ số.

Cauchy vào năm 1812 sử dụng định thức theo nghĩa hiện đại. Tác phẩm của Cauchy là hoàn chỉnh nhất trong các tác phẩm đầu tiên về định thức. Ông chứng minh lại các kết quả trước đó và đưa ra kết quả mới của riêng ông trên định thức con và định thức liên hợp. Trong một tờ báo vào năm 1812, định lý phép nhân ma trận được chứng minh lần đầu tiên mặc dù ở một cuộc họp tương tự của Institut de France, Binet cũng đọc một tờ báo có chứng minh định lý phép nhân ma trận nhưng cách chứng mình này ít thỏa đáng hơn chứng minh do Cauchy đưa ra.

Năm 1826, trong trường hợp của dạng bậc hai với n biến, Cauchy đã sử dụng thuật ngữ “bảng” cho ma trận các hệ số. Ông ta đã tìm ra những giá trị đặc trưng và đưa ra kết quả trên đường chéo của ma trận trong trường hợp biến đổi dạng về tổng các bình phương. Cauchy cũng giới thiệu các ý tưởng của các ma trận tương tự (nhưng không giới thiệu thuật ngữ) và chỉ ra rằng nếu hai ma trận giống nhau sẽ có cùng phương trình đặc trưng. Một lần nữa, trong trường hợp của dạng bậc hai, ông cũng, chứng minh rằng tất cả ma trận đối xứng đều được chéo hóa.

Jacques Sturm đưa ra cách tổng quát về giá trị đặc trưng trong trường hợp giải hệ phương trình vi phân. Trong thực tế khái niệm của giá trị đặc trưng xuất hiện 80 năm trước đây, một lần nữa trong tác phẩm trên hệ phương trình tuyến tính vi phân bởi D’Alembert, nghiên cứu sự chuyển động của một chuỗi với khối lượng lớn tác động vào nhiều điểm.

Nhưng cả Cauchy và Jacques Sturm đều không nhận ra tính khái quát của các ý tưởng họ đã giới thiệu và nhìn ra chúng trong trường hợp cụ thể mà họ đang nghiên cứu. Jacobi từ khoảng năm 1830 và sau đó Kronecker và Weierstrass vào những năm 1850 và 1860 cũng xem xét kết quả ma trận nhưng chỉ trong một trường hợp đặc biệt nào đó, lần này là khái niệm về một phép biến đổi tuyến tính. Jacobi công bố ba luận án về định thức vào năm 1841. Điều quan trọng là trong đó lần đầu tiên định nghĩa của định thức được thực hiện trong một thuật toán và các giá trị trong định thức không được chỉ rõ, vì vậy các kết quả của ông được áp dụng tốt đối với các trường hợp giá trị trong định thức là những con số hoặc hàm. Ba bài báo của Jacobi khiến cho ý tưởng về định thức được biết rộng rãi.

Cayley cũng viết vào năm 1841, công bố đóng góp đầu tiên bằng tiếng Anh cho định lý của định thức. Trong bài viết này, ông ta sử dụng hai đường thẳng đứng ở hai bên của một mảng để ký hiệu định thức. Ký hiệu này bây giờ trở thành ký hiệu chuẩn.

Eisenstein vào năm 1844 đã ký hiệu phép thế tuyến tính bằng một ký tự duy nhất và chỉ ra cách để cộng và nhân các ma trận như những con số thông thường, ngoại trừ tính giao hoán. Công bằng mà nói, Eisenstein là người đầu tiên nghĩ đến phép thế tuyến tính dưới dạng đại số. Ta có thể thấy điều này trong trích dẫn từ bài báo 1844 của ông:

“Một thuật toán cho các phép tính có thể dựa trên điều này, bao gồm ứng dụng những quy tắc thông thường cho các phép nhân, chia và lũy thừa về những phương trình ký hiệu giữa hệ phương trình tuyến tính, luôn thu được phương trình ký hiệu đúng, việc cần xem xét duy nhất là cấp của nhân tử không thể thay đổi.”

Người sử dụng thuật ngữ “ma trận” đầu tiên là Sylvester vào năm 1850. Sylvester định nghĩa một ma trận là một sự sắp xếp của các số hạng và xem chúng là cái dẫn đến các định thức khác nhau từ các mảng vuông chứa đựng trong nó. Sau khi rời khỏi Mỹ và quay lại Anh vào năm 1851, Sylvester trở thành một luật sư và gặp Cayley, một luật sư đồng nghiệp, ông đã chia sẻ sự quan tâm của bản thân trong toán học. Cayley nhanh chóng nhìn ra ý nghĩa của khái niệm ma trận và năm 1853 Cayley lần đầu tiên công bố một ghi chú về ma trận nghịch đảo.

Cayley vào năm 1858 đã công bố “Memoir on the theory of matrices” (tạm dịch: Hồi ký về định lý của ma trận). Hồi ký này gây chú ý khi đưa ra định nghĩa trừu tượng đầu tiên của ma trận. Ông ta chỉ ra rằng những mảng hệ số được nghiên cứu trước đây cho dạng bậc hai và cho phép biến đổi tuyến tính là những trường hợp đặc biệt trong định nghĩa chung của ông ta. Cayley đã đưa ra định nghĩa về phép cộng, phép nhân, phép nhân vô hướng và nghịch đảo ma trận đại số. Ông ta đưa ra một cấu trúc chi tiết của ma trận nghịch đảo dưới dạng định thức của ma trận.

Cayley cũng chứng minh rằng, trong trường hợp ma trận 2×2, một ma trận sẽ thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Ông ấy nói rằng ông ta đã kiểm tra kết quả cho ma trận 3×3, chỉ ra việc chứng minh cho ma trận này, nhưng ông ta nói:

“Tôi không nghĩ rằng thực hiện chứng minh định lý theo cách thông thường trong trường hợp tổng quát ma trận nhiều cấp là cần thiết.”

Một ma trận thỏa mãn phương trình đặc trưng là nội dung của định lý Cayley-Hamilton. Trong thực tế, khi ông nghiên cứu về quaternions, ông đã chứng minh định lý với trường hợp 4×4.

Vào năm 1870, dạng chính tắc Jordan xuất hiện trong “Treatise on substitutions and algebraic equations” (tạm dịch: Luận án về phép thế và phương trình đại số) do Jordan viết. Dạng này xuất hiện trong trường hợp dạng chính tắc cho phép thế tuyến tính trên trường hữu hạn có cấp nguyên tố.

Frobenius, vào năm 1878, đã viết một tác phẩm quan trọng về ma trận: “On linear substitutions and bilinear forms” (tạm dịch: Phép thế tuyến tính và dạng song tuyến tính) mặc dù ông ta dường như không biết tác phẩm của Cayley. Trong bài báo này, Frobenius nói về những hệ số của các dạng và không sử dụng thuật ngữ ma trận. Tuy nhiên ông ta đã chứng minh những kết quả quan trọng trên ma trận chính tắc như là đại diện của lớp các ma trận tương đương. Ông trích dẫn Kronecker và Weierstrass như có xem xét những trường hợp đặc biệt của các kết quả của ông ta vào năm 1874 và 1868 một cách tương ứng. Frobenius cũng đã chứng minh kết quả tổng quát rằng một ma trận thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Cũng trong bài báo do Frobenius viết vào năm 1878 này có nói về định nghĩa hạng của ma trận. Ông ta sử dụng định nghĩa này trong tác phẩm của ông về dạng chính tắc và định nghĩa của ma trận trực giao.

Số khuyết của một ma trận vuông được Sylvester xác định vào năm 1884. Ông ta xác định số khuyết của A, n(A), là i lớn nhất sao cho mọi định thức con của A có cấp n−i+1 là 0. Sylvester thích sự bất biến của ma trận, là những đặc tính không bị thay đổi bởi các phép biến đổi nhất định. Sylvester đã chứng minh rằng:

max{n(A),n(B)}≤n(AB)≤n(A)+n(B).

Vào năm 1896 Frobenius đã biết đến “Hồi ký về định lý của ma trận” của Cayley viết vào năm 1858 và sau này ông bắt đầu sử dụng thuật ngữ ma trận. Mặc dù sự thật là Cayley chỉ chứng minh định lý Cayley-Hamilton cho ma trận 2×2 và 3×3, Frobenius đã gán các kết quả một cách tử tế cho Cayley mặc dù thực tế Frobenius là người đầu tiên chứng minh định lý tổng quát.

Một tiên đề của định thức được Weierstrass sử dụng trong bài giảng của ông và sau khi ông ta, tiên đề này được công bố vào năm 1903 trong “On determinant theory” (tạm dịch: Về lý thuyết định thức). Trong cùng năm đó, bài giảng của Kronecker về định thức cũng được công bố, lại một lần nữa sau khi ông qua đời. Với hai ấn phẩm này, các lý thuyết hiện đại của định thức dần xuất hiện, nhưng định lý về ma trận mất một thời gian để trở thành lý thuyết được chấp nhận hoàn toàn. Một bài viết quan trọng, mang ma trận vào vị trí thích hợp trong toán học là “Introduction to higher algebra” (tạm dịch: Giới thiệu đại số cao cấp) do Boocher xuất bản vào năm 1907. Turnbull và Aitken đã viết các bài viết có ảnh hưởng vào những năm 1930 và cuốn “An introduction to linear algebra” (tạm dịch: Giới thiệu về đại số tuyến tính) của Mirsky vào năm 1955 cho thấy vai trò quan trọng của lý thuyết ma trận và lý thuyết này trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong Toán học ở bậc Đại học.

Nguồn: http://www-groups.dc…terminants.html

Người dịch: Huỳnh Ngọc Giàu

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội