Mở rộng một số bất đẳng thức

Việc mở rộng một BĐT giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về BĐT đó và đồng thời có tác dụng trong việc phát triển tư duy, cũng như óc tìm tòi sáng tạo của học sinh.

Việc làm này nên làm thường xuyên ngay trong quá trình dạy.
Ví dụ 1:
Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: \displaystyle \left( a+b \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ge 4
Mở rộng: Cho n số dương \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}. Chứng minh rằng:
\displaystyle \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}} \right)\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+..+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)\ge {{n}^{2}}
* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si  để giải
Ví dụ 2:
Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: \displaystyle \left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\ge 2
Mở rộng:
Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
a) \left( {{a}_{1}}+1 \right)\left( {{a}_{2}}+1 \right)...\left( {{a}_{n}}+1 \right)\ge {{2}^{n}}
b) \displaystyle \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)\left( {{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)..\left( {{a}_{n}}+{{a}_{1}} \right)\ge {{2}^{n}}
Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải
Ví dụ 3:
Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
{{\left( a+\frac{1}{b} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{1}{a} \right)}^{2}}\ge \frac{25}{2}
Mở rộng:
Cho n số dương \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a) \displaystyle {{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}
b) \displaystyle {{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}
* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải
Ví dụ 4:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3 + b3
Mở rộng:
1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2.
Chứng minh rằng: an + bn ≥ an-1 + bn-1      (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)
* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp
2/ a) Cho n số thực \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} thoả mãn \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=n.
Chứng minh rằng: \displaystyle {{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}
b) Cho n số thực \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} thoả mãn \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}\ge n
Chứng minh rằng: \displaystyle {{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}
*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp
Ví dụ 5:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng: \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}
Mở rộng:
Cho n số thực \displaystyle {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}} thoả mãn \displaystyle {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=\frac{n}{2}.
Chứng minh rằng:  \displaystyle {{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+..+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{n}{4}
* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội