Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một chuyên đề khó trong chương trình phổ thông. Để hiểu về dạng toán BĐT thì chúng ta cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản.

Các em tìm hiểu về bất đẳng thức qua định nghĩa (khái niệm), tính chất cơ bản và một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ.

I. Định nghĩa

Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó

\displaystyle A>B;\,\,A<B;\,\,A\ge B;\,\,A\le B được gọi là các bất đẳng thức.

+  Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau

\displaystyle A-B>0;\,\,A-B<0;\,\,A-B\ge 0;\,\,A-B\le 0

+ Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.

Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng.

II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

+ Tính chất giao hoán

Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có A\le B\Leftrightarrow B\ge A

+ Tính chất bắc cầu

Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có A\le B,\,\,\,B\le C\Rightarrow A\le C

+ Tính chất liên hệ với phép cộng

– Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có

A\le B\Leftrightarrow A\pm M\le B\pm M

– Với các số thực A, B, C, D bất kì, ta luôn có

\bullet \,\,\,\,A\le B;\,\,C\le D\Rightarrow A+C\le B+D;

\bullet \,\,\,\,A\le B;\,\,C\le D\Rightarrow A-D\le B-C

+ Tính chất liên hệ với phép nhân

– Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

\bullet \,\,\,\,A\le B;\,\,M>0\Rightarrow A.M\le B.M;

\bullet \,\,\,\,A\le B;\,\,M<0\Rightarrow A.M\ge B.M

– Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}0<\text{A}<\text{B}\\0<\text{C}<\text{D}\end{array} \right.~~~\Rightarrow \,\,0<\text{A}.\text{C}<\text{B}.\text{D}

+ Tính chất liên hệ với lũy thừa

– Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có

\bullet \,\,\,A\ge B\ge 0\Leftrightarrow {{A}^{n}}\ge {{B}^{n}}\ge 0, với n là số thực dương.

\bullet \,\,\,A\ge B\Leftrightarrow {{A}^{n}}\ge {{B}^{n}}, với n là số tự nhiên lẻ.

\bullet \,\,\,\left| A \right|\ge \left| B \right|\Leftrightarrow {{A}^{n}}\ge {{B}^{n}}\ge 0, với n là số tự nhiên chẵn.

\bullet \,\,\,m\ge n>0;\,\,A\ge 1\Rightarrow {{A}^{m}}\ge {{A}^{n}};

\bullet \,\,\,m\ge n>0;\,\,0<A<1\Rightarrow {{A}^{m}}\le {{A}^{n}}

+ Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo

– Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có A\ge B\Leftrightarrow \frac{1}{A}\le \frac{1}{B}

III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

{{A}^{2}}\ge 0 với ∀ A

{{A}^{2k}}\ge 0 với ∀ A và k là số tự nhiên

\displaystyle \left| A \right|\ge 0 với ∀ A

\displaystyle \left| A+B \right|\ge \left| A \right|+\left| B \right|

\displaystyle \left| A-B \right|\le \left| A \right|-\left| B \right|

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội