Một số loại bài chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Bài 1:
* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D
* Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Cho hai số a và b thoả mãn a – b = 1. Chứng minh rằng: a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$
Giải:
Giả sử a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$         (1)
⇔ (a – b)(a2 + ab + b2) – ab ≥ $ \frac{1}{2}$
⇔ a2 + ab + b2 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$              (vì  a – b = 1)
⇔ 2a2 + 2b2 ≥ 1
⇔ 2(b + 1)2 + 2b2 ≥ 1            (vì a = b + 1)
⇔ 2b2 + 4b + 2 + 2b2 ≥ 1
⇔ 4b2 + 4b + 1 ≥ 0
⇔ (2b + 1)2 ≥ 0              (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy  a3 – b3 – ab ≥ $ \frac{1}{2}$  với a – b =1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{array} \right.$
Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn: a + b = 2.
Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
Giải
* Cách 1
Giả sử: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ (1)
⇔ 2(a4 + b4) ≥ (a + b)(a3 + b3)           (vì a + b = 2)
⇔ 2a4 + 2b4 ≥  a4 + a3b + ab3 + b4
⇔ a4 + b4 – a3b – ab3 ≥ 0
⇔ (a- b)(a3 – b3) ≥ 0
⇔ (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0  (2)
Vì (a – b)2 ≥ 0 và a2 + ab + b2  = (a + $ \frac{1}{2}$)2 + $ \frac{3}{4}$ ≥ 0 nên BĐT (2) là BĐT đúng. Do đó BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ với  a + b = 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
* Cách 2:
Giả sử:   (1)
⇔ 2(a4 + b4) ≥ (a + b)(a3 + b3)           (vì a + b = 2)
⇔ 2a4 + 2b4 ≥  a4 + a3b + ab3 + b4
⇔ a4 + b4 – a3b – ab3 ≥ 0
⇔ (a- b)(a3 – b3) ≥ 0      (3)
Xét các trường hợp sau:
* TH: a > b suy ra a3 > b3
Do đó (a – b) > 0  và   ( a3 – b3) > 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng
* TH: a = b thì hiển nhiên BĐT (3) là BĐT đúng
* TH : a < b suy ra a3 < b3
Do đó (a – b) < 0  và   ( a3 – b3) < 0 nên  BĐT (3) là BĐT đúng
Vậy trong mọi trường hợp BĐT (3) luôn là BĐT đúng
Suy ra (1) là BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
Nhân xét:
–  Cách giải 2 ưu việt hơn cách giải 1 bởi vì nó có thể áp dụng để giải được bài toán tổng quát  (xét ở phần sau)
Bài 2:
* Cấu trúc: Cho BĐT C ≥ D, chứng minh A ≥ B.
* Cách giải :
– Xét biểu thức: (A – B) + (D – C) và biến đổi về dạng tổng các bình phương
– Chứng minh: (A – B) + (D – C) ≥ 0
– Dùng giả thiết C ≥ D để suy ra A ≥ B.
Ví dụ 1:
Cho  a + b ≥ 1.  Chứng minh: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$
Giải
Xét biểu thức: M = $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$
= $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-a-b+\frac{1}{2}$
= $ \left( {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4} \right)+\left( {{b}^{2}}-b+\frac{1}{4} \right)$
= $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$
Vì $ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ và $ {{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ nên $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)+\left( 1-a-b \right)$ ≥ 0
mà a + b ≥ 1  suy ra 1 –  a – b ≤ 0. Do đó $ \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2} \right)\ge 0$
Vậy $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}$  với a + b ≥ 1  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2: Cho a + b ≥ 2. Chứng minh rằng: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$
Giải
Xét biểu thức : N = $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$
= $ ({{a}^{4}}-{{a}^{3}}-a+1)+\left( {{b}^{4}}-{{b}^{3}}-b+1 \right)$
= (a – 1)(a3 – 1) + (b – 1)(b3 – 1)
= (a – 1)2 (a2 + a +1) + (b – 1)2 (b2 +  b + 1)
Vì (a – 1)2 (a2 + a +1) ≥ 0 và (b – 1)2 (b2 +  b + 1) ≥ 0
Suy ra $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)+\left( 2-a-b \right)$ ≥ 0
mà a + b ≥ 2 nên  2 – a – b ≤ 0 . Do đó $ \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)\ge 0$
Vậy: $ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}$

Ôn thi Toán vào lớp 10 -