Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương pháp để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.

I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn

                         y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2   = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

                             (2x + 5y + 1)(2|x|   + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x|  + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào  phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = \(\displaystyle -\frac{26}{5}\) ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

                   g1 (x1, x2,…., x) h (x1, x2,…., x) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                   x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2  ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= 1

⇔ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=1\end{array} \right.\) hoặc \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)_{{}}^{2}-y=-1\\(x+1)_{{}}^{2}+y=-1\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1+y=1-y\\-1+y=-1-y\end{array} \right.\)

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn

          Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

                   5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

          Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-1

Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)

= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1)   và các hoán vị

IV. Phương pháp 4: Phương pháp loại trừ

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của  ẩn

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì  x!  có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại)

Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4}

Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

          Hướng dẫn:

Ta có :  y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1

⇒ (2x2 + x ) 2 – (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1)

hay  (2x2 + x + 1) 2 – (2y+ 1)2 = x(x-2)

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x< – 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0

Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x2 + x) <(2y+1)2 < (2x2 + x + 1) 2          (loại)

⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2

Xét x = 2 ⇒ y2 + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1 ⇒ y2 + y = 4 (loại)

Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1

Xét x = -1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1

Vậy nghệm nguyên của phương trình là:

(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

V. Phương pháp 5: Dùng chia hết và có dư

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – 2y2 = 5

Hướng dẫn:

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-2

và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4

y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3

⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)

Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.

Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn

                     x2 + 3y = 3026

          Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025

mà xº ∈ N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x2 + 3chia cho 3 dư 0 hoặc 1

mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại)

Vậy nghiệm  (x,y) = (55,0)

6. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố

 Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn   xy + 1 = z

          Hướng dẫn:

Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn  ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3   không thỏa mãn (loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                             x2 + y2 – x – y = 8

          Hướng dẫn:

Ta có x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32

⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52

Do đó ta có  \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=3\\|2y-1|=5\end{array} \right.\)  hoặc \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}|2x-1|=5\\|2y-1|=3\end{array} \right.\)

Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.

Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                                  x2 – 4xy + 5y2  = 169

          Hướng dẫn:   Ta có x2 – 4xy + 5y2  = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy  169 = 02 + 132 = 52  + 122

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-3

Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)

VIII. Phương pháp 8: Lùi vô hạn

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình

                        x2 – 5y2 = 0

          Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                    x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-5

Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1

Ta có x+ y+z = xy

lập luận tương tự ta có x + y + z = 16 xy

Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy  (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì

\(\displaystyle \left( \frac{{{x}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{y}_{1}}}{2_{{}}^{k}},\frac{{{z}_{1}}}{2_{{}}^{k}} \right)\) là nghiệm của phương trình với k nguyên dương

⇒ x1 = y1 = z1 = 0

Vậy phương trình có nghiệm là (0, 0, 0)

IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên

3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

          Hướng dẫn:

Ta có PT:  3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên-6

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x.  Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.\)

⇒  \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}=5y+25\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=5y+2\end{array} \right.\)

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

          Hướng dẫn:

Ta có x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- \(\displaystyle \frac{y}{2}\))2 = 3 – \(\displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}\)

Ta thấy (x- \(\displaystyle \frac{y}{2}\))2 = 3 – \(\displaystyle \frac{3y_{{}}^{2}}{4}\) ≥ 0

⇒ -2 ≤ y ≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x

Ta được các nghiệm  nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập phương trình nghiệm nguyên:

 

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội