Những điều cần biết về nguyên hàm và tích phân

1. Nguyên Hàm

Định Lý I

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a; b), thì hàm số G(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng (a; b) nếu và chỉ nếu G(x) thuộc dạng

G(x) = F(x) C xác định trong khoảng (a; b), trong đó C là một hằng số tùy ý.
Những điều cần biết về nguyên hàm và tích phân

Chứng minh:

Nếu G(x) = F(x) C, F’(x) = f(x) và C là một hằng số tùy ý, thì:

G’(x) = F’(x) C’ = f(x) 0 = f(x).

Nhưng nếu G(x) và F(x) là nguyên hàm của f(x), thì G(x) – F(x) có bằng một hằng số C tùy ý nào không?

Ta xét tiếp:

Nếu G(x) và F(x) là nguyên hàm của f(x), thì G’(x) = f(x) và F’(x) = f(x).  Từ đó.

Ta thấy, như vậy hàm số có ký hiệu thuộc dạng [G(x) – F(x)] phải là hằng số C tùy ý nào đó.

Từ định lý I và kết hợp với bảng lấy đạo hàm của các hàm số sơ cấp, ta thu được một vài nguyên hàm điển hình sau đây:

Vì nguyên hàm F(x) là phần ngược lại tiến trình khi lấy đạo hàm của hàm số f(x), các tính chất về tính đạo hàm của hàm số f(x) đều áp dụng vào nguyên hàm F(x).

Ta vừa biết cách tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp bằng cách đi ngược lại tiến trình lấy đạo hàm.  Bạn để ý rằng dựa vào cách này để tìm nguyên hàm cho một hàm số ở dạng hơi khó là một công việc không phải dễ.  Do đó, người ta mới đưa ra khái niệm tích phân, ký hìệu là  , một phương pháp dùng để tìm nguyên hàm của một hàm số nào đó.  Và bạn sẽ thấy, do sự sắp đặt ký hiệu có khoa học, cách tìm nguyên hàm khi dùng tích phân trở nên dễ dàng hơn.

2. Tích phân

Đến đây bạn thấy tích phân mà kết quả của nó là phần ngược lại của tiến trình đi tìm đạo hàm của hàm số nào đó.  Nhưng nếu bạn chỉ thấy nhiệm vụ của tích phân là đi tìm nguyên hàm, thì nó thật cũng vô vị làm sao! [3*].  Có lẽ bạn tự hỏi: Ngoài nhiệm vụ giúp tìm nguyên hàm của hàm số nào đó, vậy thì ý nghĩa về tích phân là gì trong thực tế?  Vắn tắt trong bài này: tích phân giúp tìm diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một hoặc nhiều đường cong tùy ý, các trục (nếu xét) và giúp giải phương trình vi phân.
Những điều cần biết về nguyên hàm và tích phân

Để tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) một cách có phương pháp, người ta cần thành lập bảng tích phân của các hàm sơ cấp dựa vào các quy tắc lấy đạo hàm và thiết lập công thức biến đổi biến số.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội