Phương pháp chứng minh đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của dãy tỉ lệ thức.
Tính chất của dãy tỉ lệ thức:
dãy tỉ lệ thức : $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
ta được : $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{{a+c}}{{b+d}}$
Bài toán 1:
Cho dãy tỉ lệ thức: $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{a}{{a-b}}=\frac{c}{{c-d}}$
Giải:
Từ dãy tỉ lệ thức: $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
suy ra: $ \displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$
Áp dụng tính chất cho dãy tỉ lệ thức :
$ \displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}=\frac{{c-d}}{{a-b}}$
Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{{a-b}}=\frac{c}{{c-d}}$ ->đpcm
vậy: $ \displaystyle \frac{a}{{a-b}}=\frac{c}{{c-d}}$
Bài toán 2:
Cho $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$
chứng minh: $ \displaystyle {{\left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)}^{3}}=\frac{a}{d}$
Giải:
Ta nhận thấy rằng: $ \displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{c}\cdot \frac{c}{d}=\frac{{abc}}{{bcd}}=\frac{a}{d}$ (*)
Áp dụng tính chất cho dãy tỉ lệ thức :
$ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}$
Suy ra: $ \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}$ (1)
$ \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}$ (2)
$ \displaystyle \frac{c}{d}=\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}$ (3)
Thế (1) ; (2) và (3) vào (*), ta được :
$ \displaystyle \left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)\cdot \left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)\cdot \left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)=\frac{a}{d}$
$ \displaystyle {{\left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)}^{3}}=\frac{a}{d}$ ->đpcm
Vậy: $ \displaystyle {{\left( {\frac{{a+b+c}}{{b+c+d}}} \right)}^{3}}=\frac{a}{d}$
