Phương pháp quy nạp toán học chứng minh BĐT

1. Một số kiến thức cần nhớ

a) Ph­­ương pháp làm trội, làm giảm

Giả sử cần chứng minh \displaystyle A\le B, khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành \displaystyle A\le M rồi chứng minh. Cũng có thể làm giảm B thành \displaystyle M\le B rồi chứng minh \displaystyle A\le M.

Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức về tổng hoặc tích của một dãy số. Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

Phương pháp quy nạp toán học chứng minh BĐT-1

Chú ý:

– Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm sao cho bất đẳng thức cuối cùng cần chứng minh phải càng đơn giản càng tốt.

– Thông thường ta tìm quy luật viết các số hạng của dãy rồi đưa ra cách viết tổng quát, từ đó ta mới làm trội cho số hạng tổng quát và áp dụng cho các số hạng cụ thể.

b) Phương pháp quy nạp toán học

+ Nội dung của phương pháp quy nạp

Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

– Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n

– Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k  suy ra được bất đẳng thức đúng với

 + Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức \displaystyle A\left( n \right)\ge B\left( n \right) với \displaystyle n\ge {{n}_{0}},\,\,n\in N, ta tiến hành các bước như sau:

– Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với \displaystyle n={{n}_{0}}

– Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với \displaystyle n=k\left( k\ge {{n}_{0}},\,\,k\in N \right)

– Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với \displaystyle n=k+1 và kết luận bất đẳng thức đúng với \displaystyle n\ge {{n}_{0}}.

Chú ý: 

– Thông thường khi chứng minh bất đẳng thức có sự phụ thuộc vào số nguyên dương n, thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

– Trong phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức có được từ bước thứ hai chính là một giả thiết mới được dùng để chứng minh bất đẳng thức trong bước thứ ba. Do đó cần phải khai thác thật hiệu quả giả thiết quy nạp.         

2. Một số ví dụ minh họa

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội