Phương pháp so sánh 2 phân số – Bồi dưỡng Toán 5

Dạng bài tập so sánh phân số là dạng toán thường thấy trong các bài toán nâng cao, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi toán 5.

Để so sánh được 2 phân số bất kì các em cần phải ghi nhớ những kiến thức dưới đây:

Lý thuyết so sánh hai phân số:

– Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

– Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được.

Các phương pháp so sánh 2 phân số:

– Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

– So sánh với 1.

– So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số:

+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.

+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ng­ược lại.

\displaystyle 1-\frac{a}{b}<1-\frac{c}{d} thì \displaystyle \frac{a}{b}>\frac{c}{d}

Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.

\displaystyle \frac{{2000}}{{2001}} và \displaystyle \frac{{2001}}{{2002}}

Bư­ớc 1: (Tìm phần bù)

Ta có :

\displaystyle 1-\frac{{2000}}{{2001}}=\frac{1}{{2001}}

\displaystyle 1-\frac{{2001}}{{2002}}=\frac{1}{{2002}}

B­ước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)

Vì \displaystyle \frac{1}{{2001}}>\frac{1}{{2002}} nên \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}}<\frac{{2001}}{{2002}}

* Chú ý:

Đặt A = Mẫu 1 – tử 1

B = mẫu 2 – tử 2

Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:

Ví dụ: \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}} và \displaystyle \frac{{2001}}{{2003}}

+) Ta có: \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}}=\frac{{2000\times 2}}{{2001\times 2}}=\frac{{4000}}{{4002}}

\displaystyle 1-\frac{{4000}}{{4002}}=\frac{2}{{4002}}

\displaystyle 1-\frac{{2001}}{{2003}}=\frac{2}{{2003}}

+)Vì \displaystyle \frac{2}{{4002}}<\frac{2}{{2003}} nên \displaystyle \frac{{4000}}{{4002}}>\frac{{2001}}{{2003}} hay \displaystyle \frac{{2000}}{{2001}}>\frac{{2001}}{{2003}}.

– So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:

+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.

+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

\displaystyle \frac{a}{b}-1<\frac{c}{d} thì \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}

Ví dụ: So sánh: \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}} và \displaystyle \frac{{2002}}{{2001}}

B­ước 1: Tìm phần hơn

Ta có:

\displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}-1=\frac{1}{{2000}}

\displaystyle \frac{{2002}}{{2001}}-1=\frac{1}{{2001}}

B­ước 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.

\displaystyle \frac{1}{{2000}}>\frac{1}{{2001}} nên \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}>\frac{{2002}}{{2001}}

* Chú ý:

Đặt C = tử 1 – mẫu 1

D = tử 2 – mẫu 2

Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.

Ví dụ: So sánh hai phân số sau: \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}} và \displaystyle \frac{{2003}}{{2001}}

B­ước 1:

Ta có: \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}=\frac{{2001\times 2}}{{2000\times 2}}=\frac{{4002}}{{4000}}

\displaystyle \frac{{4002}}{{4000}}-1=\frac{2}{{4000}}

\displaystyle \frac{{2003}}{{2001}}-1=\frac{2}{{2001}}

Bư­ớc 2:\displaystyle \frac{2}{{4000}}<\frac{2}{{2001}} nên \displaystyle \frac{{4002}}{{4000}}<\frac{{2003}}{{2001}} hay \displaystyle \frac{{2001}}{{2000}}<\frac{{2003}}{{2001}}

– So sánh qua một phân số trung gian:

Ví dụ 1: So sánh \displaystyle \frac{3}{5} và \displaystyle \frac{4}{9}

Bư­ớc 1: Ta có:

\displaystyle \frac{3}{5}>\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

\displaystyle \frac{4}{9}<\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

Bư­ớc 2:\displaystyle \frac{3}{5}>\frac{1}{2}>\frac{4}{9} nên \displaystyle \frac{3}{5}>\frac{4}{9}

Ví dụ 2: So sánh \displaystyle \frac{{19}}{{60}} và \displaystyle \frac{{31}}{{60}}

Bư­ớc 1: Ta có:

\displaystyle \frac{{19}}{{60}}<\frac{{20}}{{60}}=\frac{1}{3}

\displaystyle \frac{{31}}{{90}}>\frac{{30}}{{90}}=\frac{1}{3}

Bư­ớc 2:\displaystyle \frac{{19}}{{60}}<\frac{1}{3}<\frac{{31}}{{90}} nên \displaystyle \frac{{19}}{{60}}<\frac{{31}}{{90}}

Ví dụ 3: So sánh \displaystyle \frac{{101}}{{100}} và \displaystyle \frac{{100}}{{101}}

\displaystyle \frac{{101}}{{100}}>1>\frac{{100}}{{101}} nên \displaystyle \frac{{101}}{{100}}>\frac{{100}}{{101}}

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.

\displaystyle \frac{{40}}{{57}} và \displaystyle \frac{{41}}{{55}}

Bài giải

+) Ta chọn phân số trung gian là: \displaystyle \frac{{40}}{{55}}

+) Ta có: \displaystyle \frac{{40}}{{57}}<\frac{{40}}{{55}}<\frac{{41}}{{55}}

+) Vậy \displaystyle \frac{{40}}{{57}}<\frac{{41}}{{55}}

* Cách chọn phân số trung gian:

– Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như: \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},... (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1.

– Trong tr­ường hợp tổng quát: So sánh hai phân số \displaystyle \frac{a}{b} và \displaystyle \frac{c}{d} (a, b, c, d khác 0)

– Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là \displaystyle \frac{a}{d} (hoặc \displaystyle \frac{c}{b})

– Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3 lần,…hay bằng \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2}{3}=\frac{4}{5}=\ldots) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như­ trên.

Ví dụ: So sánh hai phân số \displaystyle \frac{{15}}{{23}} và \displaystyle \frac{{70}}{{117}}

Bước 1: Ta có:

\displaystyle \frac{{15}}{{23}}=\frac{{15\times 5}}{{23\times 5}}=\frac{{75}}{{115}}

Ta so sánh \displaystyle \frac{{70}}{{117}} với \displaystyle \frac{{75}}{{115}}

Bước 2: Chọn phân số trung gian là: \displaystyle \frac{{70}}{{115}}

Bư­ớc 3:\displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{70}}{{115}}<\frac{{75}}{{115}} nên \displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{75}}{{115}} hay \displaystyle \frac{{70}}{{117}}<\frac{{15}}{{23}}

– Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh

– Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương  thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.

Ví dụ: So sánh hai phân số sau: \displaystyle \frac{{47}}{{15}} và \displaystyle \frac{{65}}{{21}}.

Ta có:

\displaystyle \frac{{47}}{{15}}=3\frac{2}{{15}}

\displaystyle \frac{{65}}{{21}}=3\frac{2}{{21}}

\displaystyle \frac{2}{{15}}>\frac{2}{{21}} nên \displaystyle 3\frac{2}{{15}}>3\frac{2}{{21}} hay \displaystyle \frac{{47}}{{15}}>\frac{{65}}{{21}}

– Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh.

Ví dụ: So sánh \displaystyle \frac{{41}}{{11}} và \displaystyle \frac{{23}}{{10}}

Ta có:

\displaystyle \frac{{41}}{{11}}=3\frac{8}{{11}}

\displaystyle \frac{{23}}{{10}}=2\frac{3}{{10}}

Vì 3 > 2 nên \displaystyle 3\frac{8}{{11}}>2\frac{3}{{10}} hay \displaystyle \frac{{41}}{{10}}>\frac{{23}}{{10}}

* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau.

Ví dụ: So sánh \displaystyle \frac{{47}}{{15}} và \displaystyle \frac{{65}}{{21}}.

+) Ta có: \displaystyle \frac{{47}}{{15}}\times 3=\frac{{47}}{5}=9\frac{2}{5}

\displaystyle \frac{{65}}{{21}}\times 3=\frac{{65}}{7}=9\frac{2}{7}

+) Vì \displaystyle \frac{2}{5}>\frac{2}{7} nên \displaystyle 9\frac{2}{5}>9\frac{2}{7} hay \displaystyle \frac{{47}}{{15}}>\frac{{65}}{{21}}

– Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh

– Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.

Ví dụ: So sánh \displaystyle \frac{5}{9} và \displaystyle \frac{7}{10}

Ta có: \displaystyle \frac{5}{9}:\frac{7}{{10}}=\frac{{50}}{{63}}<1. Vậy \displaystyle \frac{5}{9}<\frac{7}{{10}}.

\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d} và \displaystyle \frac{c}{d}<\frac{e}{f} thì \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{e}{f}.

– Rút gọn phân số.

Bài tập so sánh phân số

1, Không quy đồng tử  số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau :

a, \displaystyle \frac{{12}}{{14}}\displaystyle \frac{{1212}}{{1414}}\displaystyle \frac{{121212}}{{141414}}

b, \displaystyle \frac{{24}}{{35}}\displaystyle \frac{{2424}}{{3535}} và \displaystyle \frac{{242424}}{{353535}}

c, \displaystyle \frac{{ab}}{{cd}}\displaystyle \frac{{abab}}{{cdcd}} và \displaystyle \frac{{ababab}}{{cdcdcd}}

d, \displaystyle \frac{{123}}{{145}}, latex \displaystyle \frac{{123123}}{{145145}}và latex \displaystyle \frac{{123123123}}{{145145145}}

e, \displaystyle \frac{{122436}}{{132639}} và \displaystyle \frac{{12}}{{13}}

f, \displaystyle \frac{{22}}{{25}} và \displaystyle \frac{{224466}}{{255075}}

2, Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần bù)

a) \displaystyle \frac{{1999}}{{2000}}\displaystyle \frac{{2003}}{{2004}}

b) \displaystyle \frac{{1997}}{{2000}} và \displaystyle \frac{{1995}}{{1998}}

c) \displaystyle \frac{a}{{a+1}} và \displaystyle \frac{{a+1}}{{a+2}}

3, Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần hơn)

a) \displaystyle \frac{{1995}}{{1994}} và \displaystyle \frac{{2003}}{{2002}}

b) \displaystyle \frac{{2003}}{{2000}}\displaystyle \frac{{1999}}{{1996}}

c) \displaystyle \frac{{299}}{{295}} và \displaystyle \frac{{279}}{{275}}

4, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần

\displaystyle \frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8},\frac{8}{9},\frac{9}{{10}}

5, Viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số \displaystyle \frac{2}{5} và \displaystyle \frac{3}{5}.

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội