Sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức

Chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã biết như: Cosi, Bunhiacopxki,…và các BĐT luôn đúng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Trung tâm Gia sư Hà Nội liệt kê ra các bất đẳng thức đã biết, đã được chứng minh và các em có thể áp dụng ngay vào giải toán mà không cần phải chứng minh lại. Cụ thể là:

1. BĐT bình phương của một biểu thức

A2 ≥ 0 với mọi giá trị của A.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0

2.  Bất đẳng thức Côsi

(Cauchy là tên của Nhà toán học người Pháp 1789 – 1857)

Cho hai số a và b không âm , ta luôn có: \(\frac{a b}{2}\ge \sqrt{ab}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Cho ba số a, b, c không âm , ta luôn có: \(\frac{a b c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Tổng quát:

Cho n số a1, a2 ,…, an không âm, ta luôn có: \(\frac{{{a}_{1}} {{a}_{2}} .. {{a}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}..{{a}_{n}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = …=an

(Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng)

3. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

(Bunhiacôpxki là tên của Nhà toán học người Nga 1804 – 1889)

Cho các số a1,a2; b1, b2 ta có:  (a1b1 a2.b2)2 ≤  (a­12 a22) (b12 b22)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Tổng quát: Cho hai bộ số (a1, a2,…an) và (b1, b2, …bn) ta luôn có :

\({{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}} {{a}_{2}}{{b}_{2}} .. {{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( {{a}_{1}}^{2} {{a}_{2}}^{2} .. {{a}_{n}}^{2} \right)\left( {{b}_{1}}^{2} {{b}_{2}}^{2} .. {{b}_{n}}^{2} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\displaystyle \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\)

(Bình phương của tổng các tích không lớn hơn tích của tổng các bình phương)

3. BĐT tổng nghịch đảo của hai số cùng dấu

Với hai số cùng dấu a và b ta có: \(\displaystyle \frac{a}{b} \frac{b}{a}\ge 2\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

* BĐT.   với a và b là hai số dương.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

* Ngoài ra: BĐT \(\displaystyle \frac{1}{a} \frac{1}{b}\ge \frac{4}{a b}\)  với a và b là hai số dương

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Với việc áp dụng các bất đẳng thức trên, Để chứng minh A > B ta tiến hành như sau:

– Từ BĐT đã biết C > D ta đi biến đổi C > D  ⇒ …..⇒ A > B rồi trả lời.

các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về cách sử dụng các bất đẳng thức đã biết ở trên để chứng minh bất đẳng thức.

Sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức

Sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội