Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

A. Kiến thức cần nhớ

1. Một số tính chất của tỉ số

+ Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có \(a\ge b\Leftrightarrow \frac{1}{a}\le \frac{1}{b}\)

+ Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có:

– Nếu \(\frac{a}{b}<1\) thì \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\)

– Nếu \(\frac{a}{b}>1\) thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)

– Nếu \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)

2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức

+ \(\left| a \right|\ge a;\,\,\,\left| a \right|\ge 0\)

+ \(\left| a \right|\le b\Leftrightarrow -b\le a\le b\)

+ \(\left| a \right|\ge b>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a\ge b\\a\le -b\end{array} \right.\)

+ \(\left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|\). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

+ \(\left| a-b \right|\le \left| a+b \right|\).  Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu.

+ \(\left| a \right|-\left| b \right|\le \left| a-b \right|\). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi \(a\ge b\ge 0\) hoặc \(a\le b\le 0\).

+ Cho các số thực a1, a2,…,an  thế thì hiển nhiên ta có

|a1 + a2 +…+ an| ≤ |a1| + |a2| +…+ |an|

+ Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có

\(\left| \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right|\ge 2\).  Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi \(a=\pm b\).

3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức

Cho tam thức bậc hai \(\displaystyle f(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c\) với \(\displaystyle a\ne 0\). Khi đó ta viết được \(f(x)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c=a{{\left( ax-\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{\Delta }{4{{a}^{2}}}\) với \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\)

Từ đó ta có một số tính chất sau:

Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\ge 0\)

Tính chất 2: Nếu \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\le 0\) thì \(\displaystyle af(x)\ge 0\).

Tính chất 3: Nếu \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac\le 0\) và đa thức có hai nghiệm \(\displaystyle {{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<\,{{x}_{2}} \right)\) thì

+ \(\displaystyle af(x)\le 0\) với mọi giá trị \(\displaystyle {{x}_{1}}\le x\le {{x}_{2}}\).

+ \(\displaystyle \text{af(x)}\,\text{}\,\text{0}\) với mọi giá trị \(\displaystyle x\le {{x}_{1}}\) hoặc \(\displaystyle x\ge {{x}_{2}}\).

B. Một số ví dụ minh họa sử dụng các tính chất trên

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội
Chat
1