Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán cực trị

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ: S=M{{I}^{2}}+c, với c là hằng số và I cố định.

Khi đó \displaystyle {{S}_{Min}}=c, đạt được khi

MI=0\LeftrightarrowM=I.

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho \DeltaABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: \displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0.

b. CMR: M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3M{{G}^{2}}, từ đó suy ravị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}

=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+\overrightarrow{MC}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})=0

b. Ta có:

\begin{array}{l}M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}\\M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}\\M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\end{array}

Cộng vế theo vế ta dược:

\begin{array}{l}M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{C}^{2}}+\overrightarrow{MG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\\\end{array}

=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}(vì \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0})

Từ đó suy ra \displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi M{{G}^{2}}=0\Leftrightarrow M\equiv I

Ví dụ 2:  Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{\text{D}}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}  \\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})}^{2}}={{(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})}^{2}}

\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} M{{\text{D}}^{2}}+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD})=0                                      (1)

Ta xét:

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})

=-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM})

=-O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}+O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}                                                            (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}-M{{D}^{2}}+2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})=0                         \Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{D}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}),đpcm.

b. Từ kết quả câu a) suy ra M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M{{\text{D}}^{2}} nhỏ nhất

\LeftrightarrowM là hình chiếu vuông góc của D lên (d).

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1. Cho \DeltaABC đều cạnh bằng 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp \DeltaABC. Đặt S=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}.

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

b. Tìm giá trị lớn nhất của S.

2. Cho \DeltaABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR vevtơ \displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}, không phụ thuộc vào vị trí của M.

b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \DeltaABC, chứng minh rằng:

M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{v}

c. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=0.

Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp \DeltaABC, tìm vị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}} đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội