Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức

Trong chương trình Đại số lớp 8 các em sẽ được học về cách ứng dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Trước hết các em cần phải nắm được (ghi nhớ) 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây:
1)      (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2)      (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3)      A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4)      (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5)      (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6)      A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7)      A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Chúng ta cùng đi vào các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức nào.

Bài toán 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2 – 4x + 7

GIẢI.

Ta có : A = x2 – 4x + 7 = (x2 – 2.2.x + 4) + 3  = (x – 2)2 + 3

Ta luôn có : (x – 2)≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 2)2 + 3 ≥ 3 với mọi x.

 hay A ≥ 3  với mọi x.

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2  = 0 hay x = 2

Nên : Amin = 3 khi x = 2

Bài toán 2 : Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x .

B = 4x2 + 4x + 3

GIẢI.

Ta có : B = (2x)2 + 2.2x.1 + 12 + 2 = (2x + 1)2 + 2

Ta luôn có : (2x + 1)≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (2x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x.

Hay : B > 0 với mọi x.
Vậy : biểu thức B luôn dương với mọi x

Bài toán 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

C = x2 + 9y2 + 6x  – 6y + 5

GIẢI.
Ta có : C = x2 + 9y2 +6x  – 6y + 5

= (x2 + 2.x.3 + 9) + (9y2– 2.3y.1 +1) – 5  = (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5

Mà : (x – 2)≥ 0 ; (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.

(x – 2)+ (3y – 1) 2 ≥ 0 với mọi x, y.

Suy ra : (x + 3)2 + (3y – 1) 2 – 5  ≥  –5 với mọi x, y.
hay : C ≥ -5  với mọi x. y.

Dấu “=” xảy ra khi : x + 3  = 0 và  3y – 1 = 0

x = -3 và y = 1/3

Nên : Cmin = -5 khi x = -3 và y = 1/3

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội