Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS

Trong chương trình Toán trung học cơ sở (THCS), các em có thể sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

Các em xem những ví dụ dưới đây để hiểu rõ.

1. Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Ví dụ 1:
Giải phương trình: \displaystyle \left| x-5 \right|+\left| x-2 \right|=3
Giải
áp dụng BĐT \left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|. Ta có
\left| x-5 \right|+\left| x-2 \right| = \left| x-5 \right|+\left| 2-x \right|\left| x-5+2-x \right| = 3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  (x – 5)(2 -x) ³ 0 hay  2 ≤ x ≤ 5
Vậy phương trình có nghiệm  với mọi x thoả mãn 2 ≤ x ≤ 5
Ví dụ 2:
Giải phương trình: \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}
Giải:
Ta có : \displaystyle \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}=\sqrt{3\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+4}=\sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}\ge 2
\displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=\sqrt{5\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+9}=\sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge 3
Suy ra: Vế trái = \sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\ge 5.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1.
mà Vế phải = \displaystyle 4-2x-{{x}^{2}}=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+5\le 5.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1

2. Ứng dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN

Ví dụ 1
Cho a , b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
A = \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}
Giải:
*Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki
Ta có A2 = {{\left( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( a+1+b+1+c+1 \right) =  12
mà A > 0. Suy ra A ≤ \sqrt{12}=2\sqrt{3} . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  a = b = c = \displaystyle \frac{1}{3}
* Cách 2: Dùng điểm rơi Côsi
Ta có: \sqrt{a+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\left( a+1 \right)\frac{4}{3}}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \frac{a+1+\frac{4}{3}}{2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3a+7 \right)
Tương tự: \displaystyle \sqrt{b+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3b+7 \right)\displaystyle \sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3c+7 \right)
Suy ra: \displaystyle \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\ge \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 3\left( a+b+c \right)+21 \right)=2\sqrt{3}
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}
Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS-1

3) Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m – 1) = 0        với m là tham số
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ứng dụng của bất đẳng thức trong Toán THCS-2

Ghi chú:

Mọi thắc mắc, yêu cầu cần giải đáp vui lòng gửi về email giasuhanoitrungtam@gmail.com hoặc inbox fanpage Trung tâm Gia sư Hà Nội dưới đây:

Trung tâm Gia sư Hà Nội

Cơ sở 1: Ngõ 371/3 Đê La Thành, Hà Nội

Cơ sở 2: Thôn Đồng, Sơn Đồng, Hoài Đức, Hà Nội

Hotline: 0987 109 591

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội