Ứng dụng của vectơ trong các bài toán đồng quy, thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

$ \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC},$ k$ \in $R.

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

– Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Hướng 2:  Xác định vectơ $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{AC}$ thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:        Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

                        $ \overrightarrow{MC}=\alpha \overrightarrow{MA}+(1-\alpha )\overrightarrow{MB}$

Với điểm tùy ý M và số thực $ \alpha $ bất kì.

Đặc biệt khi $ 0\le \alpha \le 1$ thì C thuộc đoạn AB

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số$ \frac{A\text{E}}{AC}=\frac{2}{3}$. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

Giải

Ta có:             $ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}$

$ \Rightarrow $          $ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$                        (1)

$ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$

Theo giả thiết, ta suy ra:

$ \overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})$

$ \Rightarrow $          $ \overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{CB})$

Từ đây ta có:

$ \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{D}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$ \Rightarrow $          $ \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$ \Rightarrow $          $ \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB})$                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $ \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}$

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho $ \Delta $ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của $ \Delta $ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

$ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$                                                (1)

Gọi E là trung điểm BC và $ {{A}_{1}}$ là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

$ \left\{ \begin{matrix}BH\parallel C{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AC)  \\CH\parallel B{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AB)  \\\end{matrix} \right.$

$ \displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}BHC$ là hình bình hành

$ \displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}$, E, H thẳng hàng $ \displaystyle \Rightarrow $$ D$

Ta có:

$ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$           (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$ \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}\Leftrightarrow O,G,H$ thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song $ A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ của đường tròn (O). Chứng   minh rằng trực tâm của ba tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ nằm trên một đường thẳng.

                                                         Giải

Gọi $ {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ lần lượt là trực tâm của các tam giác$ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$

Ta có:

$ \begin{array}{l}\overrightarrow{O{{H}_{1}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{{C}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{2}}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{3}}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}\end{array}$

Suy ra:

$ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}=\overrightarrow{O{{H}_{2}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$

$ \begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}-\overrightarrow{OA}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\end{array}$

$ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}=\overrightarrow{O{{H}_{3}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$

$ \begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}-\overrightarrow{OB}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}\end{array}$

Vì các dây cung $ A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ song song với nhau

Nên ba vectơ $ \overrightarrow{A{{A}_{1}}},\overrightarrow{B{{B}_{1}}},\overrightarrow{C{{C}_{1}}}$ có cùng phương

Do đó hai vectơ $ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}$ cùng phương hay ba điểm $ {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ thẳng hàng.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

  1. Cho $ \Delta $ABC. Đường tròn nội tiếp $ \Delta $ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.
  2. Cho $ \Delta $ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng $ {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}},{{\Delta }_{3}}$ đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là $ {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$. Chứng minh trực tâm của ba tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ thẳng hàng.
  3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.
  4. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
Hình học, Tin tức - Tags: , ,