Ứng dụng của vetơ trong các bài toán vuông góc, tính góc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0

$ AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

$ \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A’B’}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}).(\overrightarrow{SB’}-\overrightarrow{SA’})$

$ =\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB’}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA’}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB’}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA’})$

Ta có:

$ \begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB’}=0\\\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA’}=0\\\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA’}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB’}\end{array}$

Từ đó suy ra  $ \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A’B’}=0$ nên SM vuông góc với A’B.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

  1. Gọi $ O$là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta ABC$, $ D$là trung điểm cạnh$ AB$,$ E$là trọng tâm của $ \Delta ACD$. Chứng minh rằng nếu $ AB=AC$thì $ OE\bot CD$.
  2. Cho $ \Delta ABC$ cân tại $ A.$ Gọi $ D$ là trung điểm cạnh $ AB$, $ E$ là trọng tâm $ \Delta ADC$. Chứng minh$ IE\bot CD$. ($ I$là tâm đường tròn ngoại tiếp$ \Delta ABC$).
  3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: $ BM\bot CN\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=5{{a}^{2}}$
  4. Cho hình chữ nhật ABCD,kẻ$ BH\bot AC$.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC.Chứng minh rằng:$ BM\bot MN$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *