Ứng dụng của vetơ trong các bài toán vuông góc, tính góc

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0

AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}).(\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA'})

=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'})

Ta có:

\begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}=0\\\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'}=0\\\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}\end{array}

Từ đó suy ra  \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=0 nên SM vuông góc với A’B.

BÀI TẬP TỰ GIẢI

  1. Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC, Dlà trung điểm cạnhAB,Elà trọng tâm của \Delta ACD. Chứng minh rằng nếu AB=ACthì OE\bot CD.
  2. Cho \Delta ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm \Delta ADC. Chứng minhIE\bot CD. (Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp\Delta ABC).
  3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng: BM\bot CN\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}=5{{a}^{2}}
  4. Cho hình chữ nhật ABCD,kẻBH\bot AC.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC.Chứng minh rằng:BM\bot MN

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội