Ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức

Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau:

            “Nếu nhốt vào n  chiếc lồng một số chú thỏ mà số lượng lớn hơn n  thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong đó có nhiều hơn một con thỏ”

Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp chứng minh bằng phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng phản chứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,…

Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá thú vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet. Với phương pháp này, giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo.

Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu.

Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi \displaystyle a=b=c=k thì ta có thể giả sử 2 số \displaystyle \left( a-k \right);\,\,\left( b-k \right) cùng dấu, khi đó thì \displaystyle (a-k)(b-k)\ge 0. Chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet  trong việc giải bất đẳng thức như thế nào?

Bài tập Ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức

Gia sư Hà Nội © 2009 Gia sư Hà Nội